كثيرات الحدود ومعادلات الدرجة الثانية الجذع المشترك

المرحلة 1 — حساب المميز والجذرين.

نحدد المعاملات: $a=-2$، $b=6$، $c=8$.

$$\Delta =b^2-4ac=6^2-4\times (-2)\times 8=36+64=100$$

بما أن $\Delta =100>0$، تقبل الثلاثية جذرين حقيقيين مميزين:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-6-10}{-4}=\frac{-16}{-4}=4$$

$$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-6+10}{-4}=\frac{4}{-4}=-1$$

بما أن $x_2=-1<x_1=4$، نضع $x_1=-1$ و$x_2=4$ (ترتيب تصاعدي).

المرحلة 2 — تحليل $f(x)$ إلى جداء عوامل.

الصيغة المحللة لثلاثية $a{x}^2+bx+c$ تقبل جذرين حقيقيين $x_1$ و$x_2$ هي:

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

هنا $a=-2$، $x_1=-1$، $x_2=4$، إذن:

$$f(x)=-2(x-(-1))(x-4)=-2(x+1)(x-4)$$

التحقق: $-2(x+1)(x-4)=-2(x^2-3x-4)=-2x^2+6x+8$ ✓

المرحلة 3 — جدول إشارة $f(x)$ وحل $(\mathcal{I})$.

لدينا الصيغة المحللة $f(x)=-2(x+1)(x-4)$. الجذران هما $x_1=-1$ و$x_2=4$.

ندرس إشارة كل عامل:

خارج $[-1;4]$، الجداء $(x+1)(x-4)$ موجب (عاملان لهما نفس الإشارة)، ومضروباً في $-2$ يعطي نتيجة سالبة. بين $-1$ و$4$، الجداء $(x+1)(x-4)$ سالب، ومضروباً في $-2$ يعطي نتيجة موجبة.

الخطأ هنا: الجدول أعلاه يشير خطأً إلى أن $f(x)>0$ خارج $[-1;4]$، كما لو كان $a$ موجباً. في الواقع، بما أن $a=-2<0$، فإشارة $f$ هي عكس حالة $a>0$: $f(x)>0$ بين الجذرين و$f(x)<0$ خارجهما.

حسب هذا الجدول (الخاطئ)، نستنتج أن $f(x)>0$ من أجل $x\in ]-\infty ;-1[\cup ]4;+\infty [$.

المرحلة 4 — دراسة إشارة $g(x)=f(x)-10$.

لدينا $g(x)=-2x^2+6x+8-10=-2x^2+6x-2$.

لنحسب مميز $g$:

$${\Delta }_g=6^2-4\times (-2)\times (-2)=36-16=20>0$$

إذن تقبل $g$ جذرين حقيقيين مميزين $r_1$ و$r_2$. بما أن معامل $x^2$ في $g$ هو $-2<0$، وبتطبيق نفس المنطق (الخاطئ) السابق، نستنتج أن $g(x)>0$ خارج $[r_1;r_2]$، إذن تقبل المعادلة $g(x)=0$ حلين حقيقيين (هذه النقطة صحيحة: يوجد فعلاً جذران مميزان لأن ${\Delta }_g>0$).

الاستنتاج حول عدد الحلول ($2$ حلين حقيقيين مميزين) صحيح هنا بالصدفة، لكن جدول إشارة $g$ سيكون هو أيضاً خاطئاً لو تم رسمه.