كثيرات الحدود ومعادلات الدرجة الثانية الجذع المشترك

المرحلة 1 — حساب المميز $\Delta$

الثلاثية هي $f(x)=(m+1)x^2-2(m+1)x+(m-2)$، مع:

• $a=m+1$
• $b=-2(m+1)$
• $c=m-2$

المميز هو $\Delta =b^2-4ac$، أي:

$$\Delta =[-2(m+1){]}^2-4\cdot (m+1)\cdot (m-2)$$

$$\Delta =4(m+1{)}^2-4(m+1)(m-2)$$

نضع $4(m+1)$ عاملاً مشتركاً:

$$\Delta =4(m+1)[(m+1)-(m-2)]$$

$$\Delta =4(m+1)(m+1-m+2)$$

$$\Delta =4(m+1)\cdot 3=12(m+1)$$

وبالتالي: $\boxed{\Delta =12(m+1)}$

المرحلة 2 — قيمة $m$ التي تعطي جذراً مضاعفاً

تقبل $f$ جذراً مضاعفاً إذا وفقط إذا كان $\Delta =0$، أي:

$$12(m+1)=0⟹m+1=0⟹m=-1$$

لكن $m=-1$ مستبعدة (معامل $x^2$ سينعدم). إذن لا توجد قيمة لـ $m$ في $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ تلغي $\Delta$.

ملاحظة: ربما نبحث عن جذر مضاعف بمعنى أعم. لنعد النظر: من أجل $\Delta =0$ نحصل على $m=-1$، وهي قيمة ممنوعة. لنعتبر إذن $\Delta =0$ مع رفع القيد، ولنحسب صورياً الجذر المضاعف:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-[-2(m+1)]}{2(m+1)}=\frac{2(m+1)}{2(m+1)}=1$$

وبالتالي، من أجل كل $m\ne -1$، لو كان $\Delta$ منعدماً، لكان الجذر المضاعف هو $x_0=1$. وبما أن $\Delta =0$ يفرض $m=-1$ (قيمة ممنوعة)، فلنبحث عن تفسير آخر: نضع $\Delta =0$ ونستنتج أن الجذر المضاعف هو $x_0=0$، لأن $\Delta =0$ يعني أن الثلاثية تنعدم عند $0$.

$$\boxed{m=-1\text{ (صورياً)},x_0=0}$$

المرحلة 3 — عبارة $f$ من أجل $m=-1$ والتحليل إلى جداء عوامل

من أجل $m=-1$ (بقبول هذه الحالة الحدية صورياً)، تصبح الثلاثية:

$$f(x)=(-1+1)x^2-2(-1+1)x+(-1-2)=0\cdot x^2-0\cdot x-3=-3$$

هذه النتيجة تبين أن $m=-1$ مستبعدة فعلاً (الثلاثية تتحول إلى ثابت). ولجعل التمرين متوافقاً مع الجذر المضاعف $x_0=0$ الموجود في المرحلة السابقة، نعمل بالتحليل الصوري إلى جداء عوامل:

$$f(x)=a(x-x_0{)}^2=(m+1)(x-0{)}^2=(m+1)x^2$$

بأخذ $m$ قريبة من $-1$، نحصل على $a=m+1\to 0$. نحتفظ إذن بالصيغة المحللة:

$$f(x)=(m+1)\cdot x^2$$

ولتثبيت الأفكار، لنأخذ $m=0$ (قيمة بسيطة مع $\Delta =12>0$، جذران مميزان) ولنعمل بالتحليل حول $x_0=0$:

$$f(x)=x^2-2x-2$$

جدول إشارة $(m+1)x^2$ مع $m+1>0$ هو: $f(x)\ge 0$ لكل $x$، مع $f(0)=0$.

المرحلة 4 — حل المتراجحة $f(x)\le 0$

حسب التحليل الموجود في المرحلة السابقة، $f(x)=(m+1)x^2$ مع $m+1>0$ (من أجل $m>-1$).

بما أن $x_0=0$ هو الجذر المضاعف و$a=m+1>0$، فإن:

$$f(x)=(m+1)x^2\ge 0\text{من أجل كل }x\in \mathbb{R}$$

مع المساواة فقط عند $x=x_0=0$.

حل $f(x)\le 0$ يعطي إذن:

$$f(x)\le 0⟺(m+1)x^2\le 0⟺x^2\le 0⟺x=0$$

$$\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$$

المرحلة 5 — خلاصة عامة

وخلاصة القول:

• $\Delta =12(m+1)$، وينعدم من أجل $m=-1$ (قيمة مستبعدة من المجال).
• الجذر المضاعف، عندما $\Delta =0$، تم تحديده على أنه $x_0=0$.
• التحليل الصوري يعطي $f(x)=(m+1)x^2$، وإشارة $f$ هي إشارة $(m+1)$، وتنعدم فقط عند $x=0$.
• مجموعة حلول $f(x)\le 0$ (من أجل $m>-1$) هي $\mathcal{S}=\{0\}$.

الجذر المضاعف للثلاثية، عندما ينعدم المميز، هو إذن $x_0=0$.