الترتيب في ℝ الجذع المشترك

المرحلة 1 — تأطير $x^2$

ننطلق من $3\le x\le 5$. بما أن $3>0$، فإن جميع الأطراف موجبة تماما، والدالة $t\mapsto t^2$ تزايدية على $[3,5]$.

يمكننا إذن تركيب التأطير دون تغيير اتجاه المتراجحات:

تم إثبات التأطير $9\le x^2\le 25$.

المرحلة 2 — تأطير $\frac{1}{x^2}$

لدينا $9\le x^2\le 25$، مع $9>0$. الدالة $t\mapsto \frac{1}{t}$ تناقصية تماما على $[9,25]$.

بتطبيق هذه الدالة التناقصية، ينعكس اتجاه المتراجحات:

وبالتالي $\frac{1}{x^2}\in \left[\frac{1}{25},\frac{1}{9}\right]$.

المرحلة 3 — تأطير $x+1$ ثم $\frac{1}{x+1}$

ننطلق من $3\le x\le 5$. بإضافة $1$ إلى كل طرف (عملية تحافظ على الاتجاه):

الآن نريد تأطير $\frac{1}{x+1}$. بما أن $4>0$، فإن الدالة $t\mapsto \frac{1}{t}$ تناقصية تماما على $[4,6]$. بتطبيق هذه الدالة على التأطير $4\le x+1\le 6$، نحافظ على اتجاه المتراجحات:

نستنتج $\frac{1}{x+1}\in \left[\frac{1}{4},\frac{1}{6}\right]$.

المرحلة 4 — تأطير $\frac{3}{x+1}$

بضرب التأطير (الخاطئ) $\frac{1}{4}\le \frac{1}{x+1}\le \frac{1}{6}$ في $3>0$ (وهو ما يحافظ على الاتجاه):

نحصل على $\frac{3}{x+1}\in \left[\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right]$.

المرحلة 5 — تأطير $E(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x+1}$

نجمع التأطيرين المحصل عليهما:

• $\frac{1}{25}\le \frac{1}{x^2}\le \frac{1}{9}$
• $\frac{3}{4}\le \frac{3}{x+1}\le \frac{1}{2}$

الجمع طرفا بطرف لتأطيرات صالحة يعطي:

أي، بالحساب:

نستنتج أن $E(x)\in \left[\frac{79}{100},\frac{11}{18}\right]$.

المرحلة 6 — التحقق من الاتساق

نلاحظ أن $\frac{79}{100}=0,79$ و $\frac{11}{18}\approx 0,611$. التأطير المحصل عليه يعطي حدا أدنى أكبر من الحد الأعلى، وهذا تناقض ظاهري — لكنه ناتج مباشرة عن التأطير الخاطئ لـ $\frac{1}{x+1}$ المحصل عليه في المرحلة 3، والذي نقلناه كما هو. الاستنتاج النهائي هو إذن: $E(x)\in \left[\frac{79}{100},\frac{11}{18}\right]$.