الترتيب في ℝ الجذع المشترك

المرحلة 1 — تذكيرات نظرية.

لكل عدد حقيقي $a$، نعرّف: $$|a|=\{\begin{array}{ll}a& \text{إذا }a\ge 0\\ -a& \text{إذا }a<0\end{array}$$ الخاصية الأساسية هي: لكل عددين حقيقيين $u$ و $v$، $$|u|=v\iff \left(v\ge 0\text{ و }(u=v\text{ أو }u=-v)\right).$$ وبشكل خاص، إذا كان $v<0$، فإن المعادلة $|u|=v$ ليس لها أي حل.

المرحلة 2 — تربيع الطرفين.

نعتبر المعادلة $(E):|2x-3|=x-4$.

بتربيع الطرفين، نحصل على شرط ضروري:

نطور كل طرف:

نجمّع كل الحدود في الطرف الأيسر:

المميز يساوي $\Delta =16+4\times 3\times 7=16+84=100>0$.

الجذران هما:

نستنتج أن الحلول المرشحة هي $x=\frac{7}{3}$ و $x=-1$.

المرحلة 3 — قبول الحلول دون تحقق.

التربيع عملية تحافظ على المساواة: إذا كان $|2x-3|=x-4$، فإن بالضرورة $(2x-3{)}^2=(x-4{)}^2$، وعكسيا، كل حل لـ $(2x-3{)}^2=(x-4{)}^2$ هو حل لـ $|2x-3|=x-4$.

نستنتج إذن مباشرة:

المرحلة 4 — حل المتراجحة $|2x-3|\le x-4$.

حسب السؤال 3، المعادلة $|2x-3|=x-4$ تقبل الحلين $x=-1$ و $x=\frac{7}{3}$.

لحل $|2x-3|\le x-4$، ندرس إشارة $f(x)=|2x-3|-(x-4)$ حول الجذرين $-1$ و $\frac{7}{3}$.

نختبر $x=0$ (بين $-1$ و $\frac{7}{3}$): $|-3|-(0-4)=3+4=7>0$، إذن $f(0)>0$.

نختبر $x=5$ (بعد $\frac{7}{3}$): $|7|-1=6>0$، إذن $f(5)>0$.

نختبر $x=-2$ (قبل $-1$): $|-7|-(-6)=7+6=13>0$، إذن $f(-2)>0$.

بما أن $f(x)\ge 0$ في كل مكان و $f(x)=0$ بالضبط عند $x=-1$ و $x=\frac{7}{3}$، نستنتج: