الترتيب في ℝ الجذع المشترك

المرحلة 1 — السؤال أ.1: تحديد أعلى لـ $|2x-3|$

نفترض $|x-1|\le \frac{1}{2}$. نكتب:

إذن

بواسطة المتراجحة المثلثية $|a+b|\le |a|+|b|$ المطبقة على $a=2(x-1)$ و $b=-1$.

بما أن $|x-1|\le \frac{1}{2}$، نحصل على:

وبالتالي، لكل $x$ يحقق $|x-1|\le \frac{1}{2}$، لدينا فعلا $|2x-3|\le 2$. $■$

المرحلة 2 — السؤال أ.2: تحديد أدنى لـ $|x+1|$

نكتب $x+1=(x-1)+2$، إذن نسعى لتحديد حد أدنى لـ $|x+1|=|(x-1)+2|$.

لتحديد حد أدنى لقيمة مطلقة لمجموع، نستعمل الصيغة الثانية للمتراجحة المثلثية:

مع $a=2$ و $b=x-1$:

بما أن $|x-1|\le \frac{1}{2}<2$، لدينا $2-|x-1|>0$، إذن $|2-|x-1||=2-|x-1|$.

وبالتالي:

لدينا إذن فعلا $|x+1|\ge \frac{3}{2}$ لكل $x$ يحقق $|x-1|\le \frac{1}{2}$. $■$

المرحلة 3 — السؤال أ.3: تأطير $f(x)$ وحد أعلى لـ $|f(x)|$

لدينا $f(x)=|2x-3|-|x+1|$. حسب المراحل السابقة، من أجل $|x-1|\le \frac{1}{2}$:

• $0\le |2x-3|\le 2$
• $|x+1|\ge \frac{3}{2}$

علاوة على ذلك، $|x+1|\le |x-1|+2\le \frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

إذن:

وبالتالي $-\frac{5}{2}\le f(x)\le \frac{1}{2}$، وبالتالي:

حد أعلى لـ $|f(x)|$ على $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$ هو $\frac{5}{2}$.

المرحلة 4 — السؤال ب: تحديد أدنى لـ $|f(x)|$

لدينا $f(x)=|2x-3|-|x+1|$، إذن $|f(x)|=||2x-3|-|x+1||$.

نريد تحديد حد أدنى لـ $|f(x)|$ بدلالة $|x-1|$. لهذا، نطبق صيغة التحديد الأدنى للمتراجحة المثلثية:

مع $a=2x-3$ و $b=x+1$. نحصل على:

إذن $|f(x)|\le |x-4|$ لكل $x\in \mathbb{R}$.

نستنتج أن $|f(x)|$ محددة أعليا بـ $|x-4|$، مما يسمح بالقول، من أجل $x$ قريبة من $4$، أن $f(x)$ تؤول إلى $0$.

المرحلة 5 — استغلال النتيجة (اتساق لاحق)

حسب المرحلة 4، لدينا التحديد الأعلى $|f(x)|\le |x-4|$.

وبشكل خاص، من أجل $|x-4|\le \epsilon$ (مع $\epsilon >0$)، سيكون لدينا $|f(x)|\le \epsilon$، مما يوحي بأن $f$ «مضبوطة» بجوار $4$.

نلاحظ أن $f(4)=|8-3|-|4+1|=5-5=0$، وهو ما يتوافق مع كون $|f(x)|\le |x-4|$ يستلزم $f(4)=0$.

وبالتالي، الحد الذي تم الحصول عليه يؤكد أن $f$ تنعدم عند $x=4$ وأن $|f(x)|$ يمكن جعلها صغيرة كما نريد بأخذ $x$ قريبة بما يكفي من $4$.