الترتيب في ℝ الجذع المشترك

المرحلة 1 — الحد الأدنى لـ $f$ (السؤال أ.1).

لكل $x\in \mathbb{R}$، القيمة المطلقة تحقق $|2x-3|\ge 0$، إذن $$f(x)=|2x-3|-5\ge 0-5=-5.$$يُبلغ الحد الأدنى $-5$ عندما $|2x-3|=0$، أي $2x-3=0$، بمعنى $x=\frac{3}{2}$.

المرحلة 2 — حل $f(x)=0$ (السؤال أ.2).

$$f(x)=0⟺|2x-3|=5.$$لدينا $|u|=5⟺u=5$ أو $u=-5$. نميز حالتين:

• $2x-3=5⟹x=4$،
• $2x-3=-5⟹x=-1$.

مجموعة الحلول هي $S=\{-1;4\}$.

المرحلة 3 — حل $(I_1)$: $|2x-3|\le 7$ (السؤال ب.3).

نعيد كتابة $(I_1)$: $$|2x-3|-5\le 2⟺|2x-3|\le 7.$$بما أن $7>0$، تنطبق المكافأة الكلاسيكية: $$|2x-3|\le 7⟺-7\le 2x-3\le 7.$$نحل التأطير:

$$-7\le 2x-3\le 7⟺-7+3\le 2x\le 7+3⟺-4\le 2x\le 10⟺-2\le x\le 5.$$

مجموعة حلول $(I_1)$ هي $S_1=[-2;5]$.

المرحلة 4 — حل $(I_2)$: $|2x-3|\le -2$ (السؤال ب.4).

نعيد كتابة $(I_2)$: $$|2x-3|-5\le -7⟺|2x-3|\le -2.$$نطبق المكافأة $|u|\le k⟺-k\le u\le k$ مع $k=-2$: $$|2x-3|\le -2⟺2\le 2x-3\le -2.$$نحل التأطير:

$$2\le 2x-3\le -2⟺5\le 2x\le 1⟺\frac{5}{2}\le x\le \frac{1}{2}.$$

بما أن $\frac{5}{2}>\frac{1}{2}$، فهذا التأطير مستحيل، إذن مجموعة حلول $(I_2)$ هي $S_2=\varnothing$.

(ملاحظة التلميذ: التأطير فارغ، نستنتج $S_2=\varnothing$.)

المرحلة 5 — التقاطع $S_1\cap S_2$ (السؤال ب.5).

حسب المراحل السابقة، $S_1=[-2;5]$ و $S_2=\varnothing$.

مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق $(I_1)$ و $(I_2)$ في آن واحد هي $$S_1\cap S_2=[-2;5]\cap \varnothing =\varnothing .$$

الاستنتاج: لا يوجد أي عدد حقيقي يحقق المتراجحتين معا.