الترتيب في ℝ الجذع المشترك

المرحلة 1 – تحليل البسط إلى عوامل.

نبحث عن جذور $x^2-3x+2$. المميز يساوي $\Delta =9-8=1$، إذن الجذران هما $x_1=1$ و $x_2=2$.

نحصل على التحليل:

وبالتالي، لكل $x\ne 1$:

مجال تعريف $f$ هو $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

المرحلة 2 – إعادة كتابة المتراجحة $(\mathcal{I})$.

المتراجحة $(\mathcal{I})$ هي $\frac{x^2-3x+2}{x-1}\ge 3$.

حسب المرحلة 1، من أجل $x\ne 1$، لدينا $\frac{x^2-3x+2}{x-1}=x-2$.

إذن المتراجحة $(\mathcal{I})$ تكافئ:

مما يعطي $x\ge 5$.

نسجل هذه النتيجة الوسيطة: $x\ge 5$.

المرحلة 3 – مجموعة حلول $(\mathcal{I})$.

التبسيط $\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$ صالح من أجل $x\ne 1$. لكن $x=1$ لا يحقق $x\ge 5$، إذن هو ليس ضمن مجموعة الحلول على أي حال.

مجموعة حلول $(\mathcal{I})$ هي إذن:

المرحلة 4 – حل $|f(x)-3|\le 1$.

من أجل $x\in D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$، لدينا $f(x)=x-2$، إذن:

تصبح المتراجحة $|x-5|\le 1$، وهي تكافئ:

بإضافة $5$ إلى كل طرف:

مجموعة الحلول الوسيطة هي $[4,6]$.

المرحلة 5 – مراعاة المجال والاستنتاج.

يجب استبعاد $x=1$ من المجال. بما أن $1\notin [4,6]$، فإن مجموعة حلول $|f(x)-3|\le 1$ هي:

نتحقق أن هذا المجال متمركز فعلا حول $\frac{4+6}{2}=5$. ✓

الآن، نريد أن نستنتج حلول المتراجحة $(\mathcal{J})$: $(x-1)\cdot f(x)\ge 3(x-1)$.

من أجل $x\in D_f$، تُكتب المتراجحة $(\mathcal{J})$ على الشكل $(x-1)(x-2)\ge 3(x-1)$. نضرب طرفي المتراجحة $f(x)\ge 3$، أي $x-2\ge 3$، في $(x-1)$، مما يعطي مباشرة:

يبقى اتجاه المتراجحة محفوظا، إذن مجموعة حلول $(\mathcal{J})$ هي نفسها مجموعة حلول $(\mathcal{I})$، أي $[5,+\infty [$.

المرحلة 6 – الاستنتاج العام.

• $f(x)=x-2$ على $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
• مجموعة حلول $(\mathcal{I}):f(x)\ge 3$ هي $S=[5,+\infty [$.
• مجموعة حلول $|f(x)-3|\le 1$ هي $S^{\prime }=[4,6]$، مجال متمركز حول $5$.
• مجموعة حلول $(\mathcal{J}):(x-1)\cdot f(x)\ge 3(x-1)$ هي $[5,+\infty [$ (نتيجة مستنتجة من المرحلة 5).