المنطق الرياضي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — حل $P(x)$ ومجموعة الصدق $E_P$.

نحل $x^2-5x+6=0$. المميز يساوي $\Delta =25-24=1>0$، إذن:

وهكذا $E_P=\{2,3\}$.

المرحلة 2 — مجموعات صدق $Q(x)$ و $R(x)$ و $Q(x)\wedge R(x)$.

بحسب التعريف:

• $E_Q=[2,+\infty [$
• $E_R=(-\infty ,3]$

مجموعة صدق الاقتران $Q(x)\wedge R(x)$ هي:

المرحلة 3 — صدق $\mathcal{H}(x):P(x)⟹(Q(x)\wedge R(x))$.

الاستلزام $P⟹C$ يكون خاطئاً فقط عندما تكون $P$ صحيحة و $C$ خاطئة، أي عندما $x\in E_P$ لكن $x\notin E_{Q\wedge R}$.

والآن $E_P=\{2,3\}\subset [2,3]=E_{Q\wedge R}$، إذن لا يوجد أي $x$ تكون فيه $P(x)$ صحيحة و $Q(x)\wedge R(x)$ خاطئة.

وبالتالي، $\mathcal{H}(x)$ قضية صحيحة على $\mathbb{R}$.

المرحلة 4 — نفي $\mathcal{H}(x)$: إعادة صياغة أولى.

نذكّر بأنّ نفي استلزام هو:

بتطبيق ذلك هنا مع $A=P(x)$ و $B=Q(x)\wedge R(x)$:

يبقى تطوير $\overline{Q(x)\wedge R(x)}$ باستعمال قانوني دي مورغان.

المرحلة 5 — تطبيق قانوني دي مورغان (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

نطبق النفي على الاقتران $Q(x)\wedge R(x)$. بنفي كل حد على حدة، نحصل على:

أي بوضوح:

• $\overline{Q(x)}$ : « $x<2$ »
• $\overline{R(x)}$ : « $x>3$ »

إذن:

المرحلة 6 — مجموعة صدق $\overline{\mathcal{H}}(x)$.

حسب المرحلة السابقة:

مجموعة صدق $\overline{\mathcal{H}}(x)$ هي:

نستنتج أنّ $\overline{\mathcal{H}}(x)$ خاطئة لكل $x\in \mathbb{R}$، وهذا متوافق مع كون $\mathcal{H}(x)$ صحيحة — لكن هذا الاستنتاج تمّ الحصول عليه باستدلال خاطئ حول النفي.