المنطق الرياضي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 – جدول صدق الاستلزام.

جدول صدق $P\Rightarrow Q$ هو:

الاستلزام $P\Rightarrow Q$ خاطئ في حالة واحدة فقط: عندما تكون $P$ صحيحة و $Q$ خاطئة. في جميع الحالات الأخرى، يكون صحيحاً.

المرحلة 2 – برهان أنّ $P\Rightarrow Q$ صحيح.

نريد أن نبيّن: « إذا كان $n$ من مضاعفات $4$، فإنّ $n$ من مضاعفات $2$ ».

برهان مباشر: لنفترض أنّ $P$ صحيحة، أي يوجد عدد صحيح $k$ بحيث $n=4k$. يمكننا أن نكتب $$n=4k=2\times (2k).$$ بما أنّ $2k$ عدد صحيح، فإنّ $n$ من مضاعفات $2$ فعلاً، إذن $Q$ صحيحة.

وبالتالي، $P\Rightarrow Q$ استلزام صحيح.

المرحلة 3 – تحليل استنتاج التلميذ (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

نعلم أنّ:

• الاستلزام $P\Rightarrow Q$ صحيح.
• $Q$ صحيحة ($n$ من مضاعفات $2$).

يستنتج التلميذ: « $Q$ صحيحة و $P\Rightarrow Q$ صحيح، إذن $P$ صحيحة. »

هذا الاستدلال صحيح: بما أنّ $P\Rightarrow Q$ صحيح، فإنّ صحة $Q$ تستلزم بالضرورة صحة $P$. يمكننا إذن أن نؤكد أنّ $n$ من مضاعفات $4$.

على سبيل المثال، $n=6$ من مضاعفات $2$، إذن حسب هذا الاستدلال، يكون $n=6$ من مضاعفات $4$، وهذا متوافق مع الاستنتاج.

المرحلة 4 – القيمة المنطقية لـ $Q\Rightarrow R$.

نريد دراسة: « إذا كان $n$ من مضاعفات $2$، فإنّ $n^2$ من مضاعفات $4$ ».

برهان: لنفترض أنّ $Q$ صحيحة، أي يوجد عدد صحيح $k$ بحيث $n=2k$. عندئذ $$n^2=(2k{)}^2=4k^2.$$ بما أنّ $k^2$ عدد صحيح، فإنّ $n^2$ من مضاعفات $4$، إذن $R$ صحيحة.

وبالتالي، $Q\Rightarrow R$ صحيح.

وبقبول (حسب المرحلة 3) أنّ صحة $Q$ تستلزم صحة $P$، نستنتج أنّ $P$ صحيحة كلما كانت $Q$ كذلك، مما يعزز الاستنتاج السابق.

المرحلة 5 – التعدي والاستنتاج العام.

أثبتنا:

• $P\Rightarrow Q$ صحيح (المرحلة 2).
• $Q\Rightarrow R$ صحيح (المرحلة 4).

بخاصية تعدي الاستلزام: إذا كان $A\Rightarrow B$ و $B\Rightarrow C$ صحيحين، فإنّ $A\Rightarrow C$ صحيح. نستنتج إذن أنّ $P\Rightarrow R$ صحيح، أي:

$$\text{« إذا كان }n\text{ من مضاعفات }4،\text{ فإنّ }{n}^2\text{ من مضاعفات }4.»$$

وعلاوة على ذلك، بموجب استنتاج المرحلة 3، يكون العكس صحيحاً أيضاً: $Q\Rightarrow P$، مما يعني أنّ $P$ و $Q$ متكافئتان، وبالتالي فإنّ $R\Rightarrow P$ أيضاً.