المنطق الرياضي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — تحليل ثلاثي الحدود وحل المعادلة.

نبحث عن عددين حقيقيين $a$ و $b$ بحيث $a+b=5$ و $a\times b=6$. نجد $a=2$ و $b=3$، إذن:

$$n^2-5n+6=(n-2)(n-3)$$

المعادلة $P(n)$ تُكتب إذن $(n-2)(n-3)=0$، مما يعطي، في $\mathbb{Z}$:

$$n=2\text{أو}n=3$$

مجموعة الحلول هي $S=\{2;3\}$.

المرحلة 2 — برهان $P(n)\iff Q(n)$.

لإثبات التكافؤ $P(n)\iff Q(n)$، نتحقق من القضيتين على المثال $n=2$:

• من أجل $n=2$: $P(2)$ تعطي $4-10+6=0$ ✓، إذن $P(2)$ صحيحة.
• من أجل $n=2$: $Q(2)$ هي « $2\in \{2;3\}$ » وهي صحيحة.

لدى $P(2)$ و $Q(2)$ نفس القيمة المنطقية (كلتاهما صحيحة). نتحقق أيضاً من أجل $n=3$:

• $P(3)$ : $9-15+6=0$ ✓ → صحيحة.
• $Q(3)$ : « $3\in \{2;3\}$ » → صحيحة.

في الحالتين، لدى $P(n)$ و $Q(n)$ نفس القيمة المنطقية. نستنتج إذن أنّ $P(n)\iff Q(n)$ لكل عدد صحيح $n$.

المرحلة 3 — دراسة $Q(n)\Rightarrow R(n)$.

نذكّر بأنّ $R(n)$ هي: « $n^2>4$ ».

$Q(n)$ صحيحة إذا وفقط إذا كان $n=2$ أو $n=3$. نختبر القيمتين:

• $n=2$ : $R(2)$ هي « $4>4$ » وهي خاطئة.

يكفي مثال مضاد واحد لجعل الاستلزام خاطئاً. وبما أنّ $Q(2)$ صحيحة و $R(2)$ خاطئة، فإنّ الاستلزام $Q(n)\Rightarrow R(n)$ خاطئ (من أجل $n=2$، لدينا مقدمة صحيحة ونتيجة خاطئة).

المرحلة 4 — الاستنتاج حول $P(n)\Rightarrow R(n)$.

أثبتنا (في المرحلة 2) أنّ $P(n)\iff Q(n)$ لكل عدد صحيح $n$. وبصفة خاصة، $P(n)\Rightarrow Q(n)$.

والآن، في المرحلة 3، بيّنا أنّ $Q(n)\Rightarrow R(n)$ خاطئ.

وبما أنّ السلسلة $P(n)\Rightarrow Q(n)\Rightarrow R(n)$ منقطعة (الحلقة الثانية خاطئة)، نستنتج أنّ $P(n)\Rightarrow R(n)$ خاطئ لكل عدد طبيعي $n$.

وبالفعل، من أجل $n=2$: $P(2)$ صحيحة و $R(2)$ خاطئة، وهذا مثال مضاد مباشر.