المنطق الرياضي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — القيمة المنطقية لـ $P$.

ندرس $f(x)=x^2-2x+3$. المميز يساوي $\Delta =4-12=-8<0$. بما أنّ $\Delta <0$ والمعامل المهيمن يساوي $1>0$، فإنّ ثلاثي الحدود موجب قطعاً لكل عدد حقيقي. إذن $P$ صحيحة.

القيمة المنطقية لـ $Q$.

نبحث هل $x^2\le 4$ لكل $x\in \mathbb{R}$. غير أنّه من أجل $x=3$، لدينا $x^2=9>4$، إذن $Q$ خاطئة.

القيمة المنطقية لـ $R$.

ندرس $g(x)=x^2+x+1$. المميز يساوي $\Delta =1-4=-3<0$. بما أنّ $\Delta <0$، فإنّ المعادلة $g(x)=0$ ليس لها أي حل حقيقي. إذن $R$ خاطئة.

المرحلة 2 — نفي $P$.

$P$ من الشكل $\forall x\in \mathbb{R},\mathcal{P}(x)$ حيث $\mathcal{P}(x)$ هي « $x^2-2x+3>0$ ».

بتطبيق قاعدة نفي الكمّي الشامل:

وهذا هو فعلاً التركيب $\exists x\in \mathbb{R},\neg \mathcal{P}(x)$: الكمّي $\forall$ يصبح $\exists$ و يُنفى المسند.

المرحلة 3 — نفي $Q$.

$Q$ من الشكل $\forall x\in \mathbb{R},\mathcal{Q}(x)$ حيث $\mathcal{Q}(x)$ هي « $x^2-4\le 0$ ».

نطبق قاعدة النفي:

وهكذا يؤكد $\neg Q$ أنّه لكل عدد حقيقي $x$، لدينا $x^2>4$.

نفي $R$.

$R$ من الشكل $\exists x\in \mathbb{R},\mathcal{R}(x)$. نفيها هو:

المرحلة 4 — استعمال $\neg Q$ لإبراز مثال مضاد لـ $Q$.

حسب النفي الذي حصلنا عليه في المرحلة 3، $\neg Q$ هي: « $\forall x\in \mathbb{R},x^2-4>0$ ».

نتحقق مع $x=3$: $3^2-4=9-4=5>0$. ✓

هذا يؤكد أنّ $Q$ خاطئة، لأننا وجدنا $x$ تجعل $\mathcal{Q}(x)$ خاطئة.

ملاحظة: نستعمل هنا كون $\neg Q$ صحيحة (بما أنّ $Q$ خاطئة)، فيوجد فعلاً عدد حقيقي يحقق الشرط المنفي — وهو هنا $x=3$.

المرحلة 5 — برهان أنّ $P\Rightarrow (\neg R)$ صحيحة.

الاستلزام $A\Rightarrow B$ يكون صحيحاً بمجرد أن تكون $B$ صحيحة (مهما كانت القيمة المنطقية لـ $A$)، أو بمجرد أن تكون $A$ خاطئة.

أثبتنا في المرحلة 1 أنّ $R$ خاطئة، إذن $\neg R$ صحيحة.

وبما أنّ النتيجة $\neg R$ صحيحة، فإنّ الاستلزام $P\Rightarrow (\neg R)$ صحيح، بغض النظر عن القيمة المنطقية لـ $P$.

يمكننا تأكيد ذلك: $P$ صحيحة (المرحلة 1) و $\neg R$ صحيحة، فنحن إذن في حالة « صحيح $\Rightarrow$ صحيح »، وهي فعلاً حالة استلزام صحيح. $■$