المنطق الرياضي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 – حل $x^2-5x+6=0$ والقيمة المنطقية لـ $P(x)\Rightarrow Q(x)$

نحسب المميز: $\Delta =(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1>0$.

الجذران هما $$x_1=\frac{5-1}{2}=2\text{و}{x}_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

إذن $P(x)$ صحيحة إذا وفقط إذا كان $x=2$ أو $x=3$، وهو ما يوافق تماماً $Q(x)$.

وبالتالي، لكل عدد حقيقي $x$: إذا كانت $P(x)$ صحيحة فإنّ $Q(x)$ صحيحة. الاستلزام $P(x)\Rightarrow Q(x)$ صحيح.

المرحلة 2 – معكوس النقيض وعكس الاستلزام $P(x)\Rightarrow Q(x)$

الاستلزام الأصلي هو: $(P)\Rightarrow (Q)$، أي « $x^2-5x+6=0\Rightarrow (x=2\text{ أو }x=3)$ ».

• العكس: $(Q)\Rightarrow (P)$، أي « $(x=2\text{ أو }x=3)\Rightarrow x^2-5x+6=0$ ».
• معكوس النقيض: $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$، أي « $(x\ne 2\text{ و }x\ne 3)\Rightarrow x^2-5x+6\ne 0$ ».

القضية المكافئة منطقياً لـ $P(x)\Rightarrow Q(x)$ هي معكوس النقيض $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$. أما العكس، فهو قضية مستقلة يجب إثبات قيمتها المنطقية بشكل منفصل.

المرحلة 3 – هل $R(x)$ مكافئة لـ $P(x)$؟

نطوّر $R(x)$: $x(x-5)=-6$، أي $x^2-5x=-6$، ومنه $x^2-5x+6=0$.

نجد نفس معادلة $P(x)$ تماماً. إذن $R(x)$ و $P(x)$ صيغتان لنفس المعادلة: فهما مكافئتان منطقياً ($R(x)\iff P(x)$).

المرحلة 4 – تحديد القضية المطلوب برهانها

القضية المطلوب برهانها هي: « إذا كان $x\ne 2$ و $x\ne 3$، فإنّ $x^2-5x+6\ne 0$ ».

بوضع $\neg Q(x)$: « $x\ne 2$ و $x\ne 3$ » و $\neg P(x)$: « $x^2-5x+6\ne 0$ »، تُكتب هذه القضية $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$، أي معكوس النقيض للاستلزام $P(x)\Rightarrow Q(x)$.

المرحلة 5 – الاستنتاج حول القيمة المنطقية (المرحلة التي تحتوي على الخطأ)

للاستنتاج، نلاحظ أنّ عكس $P(x)\Rightarrow Q(x)$ هو $(Q)\Rightarrow (P)$، أي « $(x=2\text{ أو }x=3)\Rightarrow x^2-5x+6=0$ ».

والآن، إذا كان $x=2$: $4-10+6=0$ ✓، وإذا كان $x=3$: $9-15+6=0$ ✓. إذن العكس $(Q)\Rightarrow (P)$ صحيح.

وبما أنّ العكس صحيح، وأنّ العكس مكافئ للاستلزام الأصلي $P(x)\Rightarrow Q(x)$، فإنّ معكوس النقيض $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$ صحيح أيضاً.

الاستنتاج: القضية « إذا كان $x\ne 2$ و $x\ne 3$، فإنّ $x^2-5x+6\ne 0$ » صحيحة، وقد بُرهنت من خلال صحة العكس.