النهايات والمتتاليات

لنبيّن بالترجع أن $u_n>0$ لكل $n\ge 0$، مما يضمن أن المتتالية معرفة جيدا (المقام $u_n+3>3>0$ لا ينعدم أبدا). **التهيئة:** $u_0=2>0$. ✓ **الوراثة:** لنفترض أن $u_n>0$. إذن $u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+3}$. البسط $3u_n+4>4>0$ والمقام $u_n+3>3>0$، إذن $u_{n+1}>0$. حسب مبدأ الترجع، $u_n>0$ لكل $n\ge 0$، والمتتالية معرفة جيدا.

لنبيّن أن المتتالية $(u_n)$ محدودة من الأسفل بـ $2$ لكل $n\ge 0$. لندرس إشارة $u_{n+1}-2$: $$u_{n+1}-2=\frac{3u_n+4}{u_n+3}-2=\frac{3u_n+4-2(u_n+3)}{u_n+3}=\frac{u_n-2}{u_n+3}.$$ نتحقق بالترجع أن $u_n\ge 2$ لكل $n\ge 0$. **التهيئة:** $u_0=2\ge 2$. ✓ **الوراثة:** إذا كان $u_n\ge 2$، فإن $u_n-2\ge 0$ و $u_n+3>0$، إذن $u_{n+1}-2=\frac{u_n-2}{u_n+3}\ge 0$، أي $u_{n+1}\ge 2$. إذن $u_n\ge 2$ لكل $n\ge 0$.

لنبيّن أن المتتالية $(u_n)$ تناقصية. لندرس إشارة $u_{n+1}-u_n$: $$u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+4}{u_n+3}-u_n=\frac{3u_n+4-u_n(u_n+3)}{u_n+3}=\frac{3u_n+4-u_n^2-3u_n}{u_n+3}=\frac{4-u_n^2}{u_n+3}=\frac{(2-u_n)(2+u_n)}{u_n+3}.$$ ولكن حسب المرحلة 2، $u_n\ge 2$، إذن $2-u_n\le 0$. علاوة على ذلك، $2+u_n>0$ و $u_n+3>0$. إذن $u_{n+1}-u_n=\frac{(2-u_n)(2+u_n)}{u_n+3}\le 0$. إذن المتتالية $(u_n)$ تناقصية.

المتتالية $(u_n)$ تناقصية ومحدودة من الأسفل بـ $2$. حسب **مبرهنة التقارب الرتيب**، تتقارب المتتالية $(u_n)$ نحو نهاية $\ell \in \mathbb{R}$. علاوة على ذلك، بما أن $(u_n)$ تناقصية و $u_n\ge 2$ لكل $n$، فإن $\ell \ge 2$ بالضرورة.

لنحسب قيمة $\ell$. بالانتقال إلى النهاية في علاقة الترجع $u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+3}$، وباستعمال استمرارية العمليات الجبرية: $$\ell =\frac{3\ell +4}{\ell +3}.$$ نحل هذه المعادلة: $$\ell (\ell +3)=3\ell +4$$ $${\ell }^2+3\ell =3\ell +4$$ $${\ell }^2=4$$ $$\ell =2\text{أو}\ell =-2.$$ بما أن $\ell \ge 2$ (حسب المرحلة 4)، نحتفظ بـ $\ell =2$. الخلاصة: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$.

**التحقق من التماسك:** لدينا $u_0=2$، وإذا كان $u_n=2$ فإن $u_{n+1}=\frac{3\times 2+4}{2+3}=\frac{10}{5}=2$. وبذلك، فإن $\ell =2$ هي بالفعل نقطة صامدة للدالة $f(x)=\frac{3x+4}{x+3}$. لكن انتبه: لكي يكون الترجع في المرحلة 2 صحيحا بشكل دقيق، كان يجب افتراض $u_n\ge 2$ **و** $u_{n+1}\ge 2$ في آن واحد في فرضية الترجع، لأن علاقة الترجع تتضمن رتبتين متتاليتين. بافتراض $u_n\ge 2$ فقط، نستنتج $u_{n+1}\ge 2$، لكن لإثبات $u_{n+2}\ge 2$ يجب التوفر على $u_{n+1}\ge 2$، وهو ما لا يغطيه ترجع بسيط يتعلق فقط بالرتبة $n$. كان يلزم ترجع قوي: افتراض $\forall k\le n,u_k\ge 2$، ثم استنتاج $u_{n+1}\ge 2$. بتطبيق الترجع القوي بشكل صحيح، نحصل على أن التحديد من الأسفل $u_n\ge 2$ صحيح، لكن الحد الأدنى الدقيق للمتتالية هو في الواقع $\ell =2$، وهي قيمة محققة منذ $u_0$. إذن المتتالية ثابتة، ونهايتها هي بالفعل $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$.