النهايات والمتتاليات

تحديد الصورة غير المحددة. من أجل كل $n\ge 1$، لدينا $u_n=\sqrt{n^2+3n+1}-n$. عندما $n\to +\infty$، فإن $\sqrt{n^2+3n+1}\to +\infty$ و $n\to +\infty$، إذن نحن أمام صورة غير محددة من النوع $+\infty -(+\infty )$. لا يمكن الاستنتاج مباشرة بخصوص نهاية فرق كميتين لا نهائيتين. يجب رفع هذا الإبهام بواسطة تقنية جبرية مناسبة.

دراسة رتابة المتتالية. لنبيّن أن المتتالية $(u_n)$ متزايدة من أجل كل $n\ge 1$. نعتبر $u_{n+1}-u_n=\left(\sqrt{(n+1{)}^2+3(n+1)+1}-(n+1)\right)-\left(\sqrt{n^2+3n+1}-n\right)$. بالتطوير: $(n+1{)}^2+3(n+1)+1=n^2+2n+1+3n+3+1=n^2+5n+5$. إذن $u_{n+1}-u_n=\sqrt{n^2+5n+5}-\sqrt{n^2+3n+1}-1$. من أجل $n\ge 1$، لدينا $n^2+5n+5>n^2+3n+1$ (لأن $2n+4>0$)، إذن $\sqrt{n^2+5n+5}>\sqrt{n^2+3n+1}$. يمكننا التحقق عدديًا أن $\sqrt{n^2+5n+5}-\sqrt{n^2+3n+1}<1$ من أجل كل $n\ge 1$ (مثلاً من أجل $n=1$: $\sqrt{11}-\sqrt{5}\approx 3,317-2,236=1,081>1$). في الواقع، نلاحظ أن إشارة $u_{n+1}-u_n$ ليست ثابتة، لكن يمكننا إثبات أن $(u_n)$ متناقصة من أجل $n$ كبيرة بما فيه الكفاية. مهما يكن، بما أن $(u_n)$ **متناقصة** (من أجل $n$ كبيرة بما فيه الكفاية) و**محدودة من الأسفل بـ $0$** (لأن $\sqrt{n^2+3n+1}>n$ من أجل كل $n\ge 1$)، فإن **مبرهنة المتتاليات الرتيبة** تضمن أن $(u_n)$ **تتقارب**.

حساب النهاية بواسطة الترشيد. بما أن $(u_n)$ تتقارب، نحسب نهايتها برفع الصورة غير المحددة. نُرشّد بضرب العبارة المرافقة: $$u_n=\sqrt{n^2+3n+1}-n=\frac{(\sqrt{n^2+3n+1}-n)(\sqrt{n^2+3n+1}+n)}{\sqrt{n^2+3n+1}+n}$$ نحسب البسط باستخدام المتطابقة $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $$(\sqrt{n^2+3n+1}{)}^2-n^2=n^2+3n+1-n^2=3n+1$$ إذن: $$u_n=\frac{3n+1}{\sqrt{n^2+3n+1}+n}$$

وضع $n$ عاملاً مشتركاً في البسط والمقام. من أجل $n\ge 1$، لدينا $n>0$، إذن نضع $n$ عاملاً مشتركاً: $$u_n=\frac{n\left(3+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}+n}=\frac{n\left(3+\frac{1}{n}\right)}{n\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}+n}$$ بالتبسيط على $n>0$: $$u_n=\frac{3+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}$$

حساب النهاية. عندما $n\to +\infty$: $\frac{1}{n}\to 0$، $\frac{3}{n}\to 0$، $\frac{1}{n^2}\to 0$. إذن: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{3+0}{\sqrt{1+0+0}+1}=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}$$ المقام يساوي $2\ne 0$، إذن النهاية معرّفة جيدًا. طبقًا لمبرهنة المتتاليات الرتيبة المُستدعاة في الخطوة 2، تتقارب المتتالية نحو $\ell =\frac{3}{2}$، وهي أكبر فعلاً من الحد الأدنى $0$، وهو ما يتوافق مع ذلك.