النهايات والمتتاليات

تحديد الشكل غير المحدَّد: من أجل كل $n\ge 1$، $u_n=\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n+2}$. عندما $n\to +\infty$، $\sqrt{n^2+3n+1}\to +\infty$ و $\sqrt{n^2-n+2}\to +\infty$، إذن $u_n$ على الشكل $+\infty -(+\infty )$. يتعلق الأمر بشكل غير محدَّد، لا يمكن الاستنتاج مباشرة. سنرفع هذا التحديد بتقنية الضرب في العبارة المرافقة.

الضرب في العبارة المرافقة: نكتب، من أجل كل $n\ge 1$: $$u_n=\frac{(\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n+2})(\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2})}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ أي $$u_n=\frac{(n^2+3n+1)-(n^2-n+2)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ نستعمل المتطابقة $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ مع $a=\sqrt{n^2+3n+1}$ و $b=\sqrt{n^2-n+2}$. المقام موجب تماماً من أجل كل $n\ge 1$، إذن العملية جائزة.

تبسيط البسط: $(n^2+3n+1)-(n^2-n+2)=n^2+3n+1-n^2+n-2=4n-1$. إذن: $$u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ نطوّر ونجمّع الحدود المتشابهة. حدود $n^2$ تنعدم، مما يرفع عدم التحديد جيداً.

الانتقال إلى النهاية: عندما $n\to +\infty$، نلاحظ أن البسط $4n-1\to +\infty$ والمقام $\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}\to +\infty$. نكون إذن أمام شكل غير محدَّد $\frac{+\infty }{+\infty }$. لكن، عندما يكون $n$ كبيراً جداً، يسلك كل جذر من جذري المقام سلوك $\sqrt{n^2}=n$، إذن يسلك المقام سلوك $n+n=2n$، تماماً مثل البسط الذي يسلك سلوك $4n$. وهكذا، يسلك الكسر سلوك $\frac{4n}{2n}$، وبما أن البسط والمقام يؤولان كلاهما إلى $+\infty$ بنفس السرعة بدلالة $n$، نستنتج مباشرة: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{+\infty }{+\infty }=1$$

الاستنتاج: المتتالية $(u_n)$ معرَّفة جيداً من أجل كل $n\ge 1$ (العبارتان تحت الجذرين موجبتان: $n^2+3n+1>0$ و $n^2-n+2=(n-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{7}{4}>0$ من أجل كل $n\ge 1$). نستنتج: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$$