النهايات والمتتاليات

**حسن التعريف والموجبية.** نبيّن بالتراجع أن $u_n>0$ من أجل كل $n\ge 0$، مما يضمن أن $u_n+1>0$ وبالتالي أن $\sqrt{u_n+1}$ معرَّف جيداً وغير منعدم. - التهيئة: $u_0=2>0$. ✓ - الوراثة: نفترض $u_n>0$. إذن $u_n+3>0$ و $\sqrt{u_n+1}>0$، إذن $u_{n+1}=\frac{u_n+3}{\sqrt{u_n+1}}>0$. ✓ إذن المتتالية معرَّفة جيداً و $u_n>0$ من أجل كل $n\ge 0$.

**البحث عن النقطة الصامدة.** إذا كانت المتتالية متقاربة نحو نهاية $\ell$، فإن $\ell \ge 0$ و $\ell$ يحقق المعادلة: $\ell =\frac{\ell +3}{\sqrt{\ell +1}}$. بالضرب في $\sqrt{\ell +1}$ (الموجب تماماً): $\ell \sqrt{\ell +1}=\ell +3$. بوضع $t=\sqrt{\ell +1}\ge 1$، لدينا $\ell =t^2-1$، إذن: $(t^2-1)t=t^2-1+3=t^2+2$، أي $t^3-t^2-t-2=0$. نختبر $t=2$: $8-4-2-2=0$. ✓ إذن $t=2$ هو جذر، مما يعطي $\ell =t^2-1=4-1=3$. التحليل إلى عوامل: $t^3-t^2-t-2=(t-2)(t^2+t+1)$. مميّز $t^2+t+1$ هو $\Delta =1-4=-3<0$، إذن الجذر الحقيقي الوحيد هو $t=2$، والنقطة الصامدة الموجبة الوحيدة هي $\ell =3$.

**الرتابة: المتتالية متزايدة.** ندرس إشارة $u_{n+1}-u_n$. $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+3}{\sqrt{u_n+1}}-u_n=\frac{u_n+3-u_n\sqrt{u_n+1}}{\sqrt{u_n+1}}$. نضع $g(x)=x+3-x\sqrt{x+1}$ من أجل $x>0$. من أجل $0<x<3$: $\sqrt{x+1}<2$ (لأن $x<3$)، إذن $x\sqrt{x+1}<2x$ و $2x<x+3$ (لأن $x<3$)، ومنه $g(x)>0$ و **$u_{n+1}>u_n$**. بما أن $u_0=2\in (0,3)$ وأننا سنبيّن في الخطوة الموالية أن $u_n<3$ من أجل كل $n$، فإن المتتالية $(u_n)$ **متزايدة تماماً**. بما أن المتتالية **متزايدة تماماً**، فإنها تتقارب حتماً نحو نهاية $\ell$.

**المتتالية محدودة من الأعلى بـ $3$.** نبيّن بالتراجع أن $u_n<3$ من أجل كل $n\ge 0$. - التهيئة: $u_0=2<3$. ✓ - الوراثة: نفترض $u_n<3$. إذن $u_{n+1}<3⟺\frac{u_n+3}{\sqrt{u_n+1}}<3⟺u_n+3<3\sqrt{u_n+1}$. نضع $v=\sqrt{u_n+1}>0$، أي $u_n=v^2-1$. تصبح المتراجحة: $v^2+2<3v$، أي $v^2-3v+2<0$، أي $(v-1)(v-2)<0$، وهذا صحيح إذا وفقط إذا كان $1<v<2$، أي $0<u_n<3$. ✓ إذن إذا كان $u_n\in (0,3)$، فإن $u_{n+1}<3$. بالتراجع، $u_n<3$ من أجل كل $n\ge 0$. المتتالية إذن **متزايدة تماماً ومحدودة من الأعلى بـ $3$**. هذه المعلومة تؤكد أنها متقاربة (وقد سبق أن استنتجنا التقارب في الخطوة السابقة).

**حساب النهاية.** المتتالية $(u_n)$ **متزايدة تماماً** ومتقاربة نحو نهاية $\ell$. بالانتقال إلى النهاية في العلاقة $u_{n+1}=\frac{u_n+3}{\sqrt{u_n+1}}$ (الدالة $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x+1}}$ متصلة على $[0,+\infty [$): $$\ell =\frac{\ell +3}{\sqrt{\ell +1}}.$$ حسب الخطوة 2، النقطة الصامدة الموجبة الوحيدة هي $\ell =3$. إذن: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$.