النهايات والمتتاليات

**جعل $u_n$ ناطقاً.** من أجل كل $n\ge 1$، نضرب $u_n$ في $\frac{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$: $$u_n=\frac{(\sqrt{n^2+3n+1}{)}^2-(\sqrt{n^2-n+2}{)}^2}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ $$=\frac{(n^2+3n+1)-(n^2-n+2)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ $$=\frac{n^2+3n+1-n^2+n-2}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ $$=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$

**إشارة $u_n$ من أجل $n\ge 1$.** من أجل كل $n\ge 1$: - المقام $\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}>0$ (مجموع جذرين موجبين). - البسط: $4n-1\ge 4(1)-1=3>0$ من أجل كل $n\ge 1$. إذن $u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}>0$ من أجل كل $n\ge 1$. وبالتالي $u_n>0$ من أجل كل $n\ge 1$.

**حساب $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.** نفترض أن المتتالية $(u_n)$ تقبل نهاية منتهية $L$ عندما $n\to +\infty$. ننطلق من العلاقة: $$u_n=\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n+2}$$ بالانتقال إلى النهاية واستعمال استمرارية الجذر التربيعي، نحصل على صورة غير محددة $+\infty -+\infty$. نستعمل عندئذ الصورة الناطقة: $$u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ من أجل $n$ كبير، $\sqrt{n^2+3n+1}\sim n$ و $\sqrt{n^2-n+2}\sim n$، إذن المقام مكافئ لـ $2n$، والبسط مكافئ لـ $4n$. وبالتالي $u_n\sim \frac{4n}{2n}=2$. إذن $L=2$، مما يؤكد أن النهاية تساوي $2$. وبما أن $L=2$ هو حل معادلة النقطة الثابتة، نستنتج: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$$

**حساب $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }n(u_n-2)$.** نعبّر عن $u_n-2$: $$u_n-2=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}-2$$ $$=\frac{4n-1-2\left(\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}\right)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ نرمز بـ $A=\sqrt{n^2+3n+1}$ و $B=\sqrt{n^2-n+2}$. نطوّر $A$ و $B$ من أجل $n$ كبير: $$A=n\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}\approx n\left(1+\frac{3}{2n}+\frac{1}{2n^2}-\frac{9}{8n^2}\right)=n+\frac{3}{2}-\frac{5}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$$ $$B=n\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}\approx n\left(1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{8n^2}\right)=n-\frac{1}{2}+\frac{7}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$$ إذن: $$A+B=2n+1+\frac{2}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)=2n+1+\frac{1}{4n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$$ $$4n-1-2(A+B)=4n-1-4n-2-\frac{1}{2n}=-3-\frac{1}{2n}$$ وبالتالي: $$u_n-2=\frac{-3-\frac{1}{2n}}{2n+1+\frac{1}{4n}}$$ $$v_n=n(u_n-2)=\frac{-3n-\frac{1}{2}}{2n+1+\frac{1}{4n}}=\frac{-3-\frac{1}{2n}}{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}}$$ بما أن نهاية $(u_n)$ هي $L=2$، فإن هذا الحساب متسق: $v_n=n(u_n-L)$ يقيس سرعة التقارب نحو $L$. عندما $n\to +\infty$: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\frac{-3}{2}$$

**الاستنتاج العام.** 1) $u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$ (تم إثباته بجعل التعبير ناطقاً). 2) $u_n>0$ من أجل كل $n\ge 1$. 3) بافتراض أن $(u_n)$ تقبل نهاية منتهية $L$، معادلة النقطة الثابتة تعطي $L=2$. نستنتج إذن $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$. 4) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-\frac{3}{2}$.