النهايات والاتصال الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — مجال التعريف.

المقام هو $x^2-3x+2$. نُحلِّله: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

$f$ معرفة لكل $x$ بحيث $(x-1)(x-2)\ne 0$، أي $x\ne 1$ و $x\ne 2$.

إذن $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$.

المرحلة 2 — النهاية عند $x=1$ والامتداد بالاتصال.

نُحلِّل البسط: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

من أجل $x\ne 1$:

$$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}$$

إذن:

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{1+1}{1-2}=\frac{2}{-1}=-2$$

النهاية موجودة، منتهية وتساوي $-2$. يمكننا مد $f$ بالاتصال عند $x=1$ بوضع $\tilde{f}(1)=-2$.

المرحلة 3 — النهاية عند $x=2$ وطبيعة الشذوذ.

من أجل $x\ne 1$، لدينا $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. لندرس السلوك بجوار $x=2$:

• عندما $x\to 2^{+}$: البسط يؤول إلى $3>0$ والمقام $x-2\to 0^{+}$، إذن $f(x)\to +\infty$.
• عندما $x\to 2^{-}$: البسط يؤول إلى $3>0$ والمقام $x-2\to 0^{-}$، إذن $f(x)\to -\infty$.

النهايتان من اليسار واليمين مختلفتان ($+\infty \ne -\infty$)، إذن $f$ لا تقبل نهاية عند $x=2$. وبالخصوص، النهاية غير موجودة عند هذه النقطة، مما يعني أنه لا يمكن الحديث عن مقارب عمودي بالمعنى الدقيق.

المرحلة 4 — النهاية عند $+\infty$ والمقارب الأفقي.

نستعمل دائمًا $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ من أجل $x$ كبير. نقسم البسط والمقام على $x$:

$$f(x)=\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}$$

عندما $x\to +\infty$، $\frac{1}{x}\to 0$ و $\frac{2}{x}\to 0$، إذن:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{1+0}{1-0}=1$$

النهاية موجودة، منتهية وتساوي $1$. إذن المستقيم $y=1$ مقارب أفقي لمنحنى $f$ عند $+\infty$.

المرحلة 5 — حصيلة المقاربات.

حسب المرحلة 3، بما أن نهاية $f$ عند $x=2$ غير موجودة كما زُعم، لا يمكننا الاستنتاج بوجود مقارب عمودي عند $x=2$. إذن المستقيم $x=2$ لا يُعتبر مقاربًا عموديًا لمنحنى $f$.

حسب المرحلة 4، المستقيم $y=1$ مقارب أفقي عند $+\infty$ (وبحساب مماثل، عند $-\infty$).

الخلاصة: منحنى $f$ يقبل مقاربًا واحدًا فقط: المستقيم $y=1$.