النهايات والاتصال الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — مجال التعريف والتبسيط.

الدالة $f$ معرفة عندما يكون المقام غير منعدم: $x^2-4\ne 0$، أي $x\ne 2$ و $x\ne -2$.

إذن $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$.

نُحلِّل البسط والمقام:

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

من أجل $x\in D_f$ (إذن $x\ne 2$ و $x\ne -2$)، يمكننا التبسيط بـ $(x-2)$:

$$f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-1}{x+2}$$

نضع إذن $g(x)=\frac{x-1}{x+2}$، و $f(x)=g(x)$ لكل $x\in D_f$.

المرحلة 2 — النهايات عند $\pm \infty$ والمقارب الأفقي.

نحسب:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}=\frac{1}{1}=1$$

وبالمثل، $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=1$.

بما أن $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=1$، فإن المستقيم $y=1$ مقارب أفقي لمنحنى $f$ عند $+\infty$ وعند $-\infty$.

المرحلة 3 — السلوك بجوار $x=-2$.

ندرس $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x-1}{x+2}$.

البسط يؤول إلى $-2-1=-3\ne 0$، والمقام يؤول إلى $0$.

نُدقِّق الإشارة:

• إذا كان $x\to -2^{+}$: $x+2\to 0^{+}$، إذن $\frac{-3}{0^{+}}\to -\infty$.
• إذا كان $x\to -2^{-}$: $x+2\to 0^{-}$، إذن $\frac{-3}{0^{-}}\to +\infty$.

النهايتان من اليمين ومن اليسار لا نهائيتان (لكن بإشارتين متعاكستين)، إذن:

$$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f(x)=-\infty \text{و}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)=+\infty$$

بما أن $f(x)\to \pm \infty$ عندما $x\to -2$، فإن المستقيم $x=-2$ مقارب عمودي لمنحنى $f$.

المرحلة 4 — السلوك بجوار $x=2$.

نلاحظ أن $x=2\notin D_f$: الدالة $f$ غير معرفة عند $x=2$. إذن المستقيم $x=2$ هو مستقيم عمودي مميز خارج مجال $f$، تمامًا مثل $x=-2$.

بالقياس مع ما سبق، بما أن $x=2$ مستبعد من مجال تعريف $f$، نستنتج أن:

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\pm \infty$$

وأن المستقيم $x=2$ إذن مقارب عمودي أيضًا لمنحنى $f$.

المرحلة 5 — حصيلة المقاربات (مستنتجة من المرحلة 4 الخاطئة).

في الختام، منحنى $f$ يقبل:

• مقاربًا أفقيًا واحدًا: $y=1$ (عند $\pm \infty$).
• مقاربين عموديين: $x=-2$ و $x=2$.

جدول التلخيص هو إذن:

$$\begin{array}{cccc}\text{المستقيم}& \text{المعادلة}& \text{النوع}& \text{التبرير}\\ y=1& \underset{\pm \infty }{\lim }f=1& \text{أفقي}& \text{محسوب}\\ x=-2& \underset{x\to -2}{\lim }f=\pm \infty & \text{عمودي}& \text{محسوب}\\ x=2& \text{خارج المجال}& \text{عمودي}& \text{بالقياس (خطأ)}\end{array}$$