النهايات والاتصال الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — تبسيط $f$ على $]-\infty ,1[$

من أجل $x<1$، لدينا $x\ne 1$، إذن يمكننا تحليل البسط:

وبالتالي، من أجل $x<1$:

إذن اقتصار $f$ على $]-\infty ,1[$ هو الدالة التآلفية $x\mapsto x-2$. منحناها الممثل هو مستقيم (جزء من مستقيم) ميله $1$ وترتيبه عند المبدأ $-2$.

المرحلة 2 — النهايات عند $x=1$ والانقطاع

حسب المرحلة 1، من أجل $x<1$ لدينا $f(x)=x-2$، إذن:

من أجل $x>1$، $f(x)=x^2-2x+3$، إذن:

النهايتان الجانبيتان موجودتان لكنهما مختلفتان: $-1\ne 2$. علاوة على ذلك، $f$ غير معرفة عند $x=1$. إذن تظهر الدالة $f$ انقطاعًا بقفزة عند $x=1$: لا يمكن مدها بالاتصال عند هذه النقطة.

المرحلة 3 — الاتصال على كل فرع

على $]-\infty ,1[$، الدالة $f(x)=x-2$ دالة تآلفية، إذن متصلة على كامل $]-\infty ,1[$.

على $]1,+\infty [$، الدالة $f(x)=x^2-2x+3$ كثيرة حدود من الدرجة الثانية، إذن متصلة على كامل $]1,+\infty [$.

في الختام، $f$ متصلة على $]-\infty ,1[$ وعلى $]1,+\infty [$، لكنها غير متصلة عند $x=1$.

المرحلة 4 — حساب $f(0)$ و $f(2)$

$0<1$، إذن نستعمل العبارة الأولى:

$2>1$، إذن نستعمل العبارة الثانية:

نلاحظ أن $f(0)=-2<0$ و $f(2)=3>0$: قيمتا $f$ عند الطرفين لهما إشارتان متعاكستان.

المرحلة 5 — تطبيق مبرهنة القيم الوسيطية والخلاصة

بما أن $f(0)=-2<0$ و $f(2)=3>0$، فإن قيمتي الطرفين لهما إشارتان متعاكستان. حسب مبرهنة القيم الوسيطية، يوجد عدد حقيقي واحد على الأقل $c\in ]0,2[$ بحيث $f(c)=0$.

إذن، المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلًا واحدًا على الأقل في $]0,2[$.