النهايات والاتصال الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — النهاية من اليسار عند $x=1$ والاتصال من اليمين.

من أجل $x<1$، لدينا $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x-2}$. نُحلِّل البسط:

إذن، من أجل $x\ne 2$ (وبالخصوص بجوار $1$):

وبالتالي:

من جهة أخرى، $f(1)=3(1)-2=1$. نتحقق من الاتصال من اليمين عند $1$:

إذن $f$ متصلة من اليمين عند $x=1$. نلاحظ مع ذلك أن $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=2\ne 1=f(1)$، إذن $f$ ليست متصلة عند $x=1$ (انقطاع من اليسار).

المرحلة 2 — النهايات عند $x=3$ والاتصال من اليسار.

من أجل $1\le x\le 3$: $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=3(3)-2=7$، و $f(3)=3(3)-2=7$.

من أجل $x>3$، لدينا $f(x)=\frac{2x^2-5x-3}{x-3}$. نُحلِّل البسط:

إذن، من أجل $x\ne 3$:

وبالتالي:

لدينا $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=7=f(3)$، إذن $f$ متصلة عند $x=3$.

المرحلة 3 — الخلاصة حول اتصال $f$ على $[1,3]$.

لقد أثبتنا:

• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=1$: $f$ متصلة من اليمين عند $x=1$ (الطرف الأيسر للمجال).
• $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=f(3)=7$: $f$ متصلة من اليسار عند $x=3$ (الطرف الأيمن للمجال).

وبما أن هذين الشرطين عند الطرفين متحققان، نستنتج أن $f$ متصلة على $[1,3]$.

المرحلة 4 — تطبيق مبرهنة القيم الوسيطية.

بما أن $f$ يُفترض أنها متصلة على $[1,3]$ (حسب المرحلة 3)، نحسب القيم عند الطرفين:

نريد إثبات أن المعادلة $f(x)=4$ تقبل حلًا في $[1,3]$.

لدينا $f(1)=1<4<7=f(3)$، إذن $4$ قيمة وسيطية بين $f(1)$ و $f(3)$.

حسب مبرهنة القيم الوسيطية، يوجد عدد حقيقي واحد على الأقل $c\in [1,3]$ بحيث $f(c)=4$.

يمكننا تدقيق ذلك: على $[1,3]$، الفرع الفعال هو $f(x)=3x-2$، إذن $3c-2=4\Rightarrow c=2\in [1,3]$. ✓