النهايات والاتصال الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — مجال تعريف $f$

الدالة $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ هي كسر جبري (دالة كسرية). تكون معرفة لكل عدد حقيقي $x$ يكون مقامه غير منعدم، أي $x-1\ne 0$، أي $x\ne 1$.

إذن:

المرحلة 2 — حساب $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$

عند $x=1$، نحصل على الشكل غير المحدد $\frac{0}{0}$. نُحلِّل البسط:

إذن، لكل $x\ne 1$:

يمكننا الآن حساب النهاية:

المرحلة 3 — اتصال $f$ عند $x=1$

لقد بيّنّا للتو أن $f(x)=x+1$ بعد التبسيط. بما أن $x+1$ دالة كثيرة حدود، فهي متصلة على $\mathbb{R}$، وبالخصوص عند $x=1$ لدينا $f(1)=1+1=2$.

النهاية تساوي $2$ و $f(1)=2$، إذن $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=2$.

الخلاصة: $f$ متصلة عند $x=1$.

المرحلة 4 — تعريف $g$ وقيمة $\ell$

بما أن $f$ متصلة أصلًا عند $x=1$ (حسب المرحلة السابقة)، فإن الدالة $g$ تتطابق مع $f$ ولا يوجد أي قيد خاص على القيمة $\ell$؛ يمكن اختيار $\ell$ بشكل عشوائي.

وبالخصوص، من أجل $\ell =2$، نحصل على $g(1)=2=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$، لكن هذا لا يشكل امتدادًا بالاتصال بما أن $f$ متصلة أصلًا في هذه النقطة.

الخلاصة: $\ell =2$ مناسبة، ولا يتعلق الأمر إلا بإعادة تعريف بسيطة دون الحاجة إلى أي امتداد.