الحساب التكاملي الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — التقارب البسيط لـ $(f_n)$ على $[0,1]$.

من أجل $x=0$ : $f_n(0)=0$ من أجل كل $n$، إذن $f_n(0)\to 0$.

من أجل $x\in ]0,1]$ : نكتب $$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2{x}^2}=\frac{1}{\frac{1}{nx}+nx}.$$عندما $n\to +\infty$، $nx\to +\infty$، إذن $\frac{1}{nx}\to 0$ و $nx\to +\infty$، بحيث $\frac{1}{nx}+nx\to +\infty$، وبالتالي $f_n(x)\to 0$.

وبذلك، من أجل كل $x\in [0,1]$، $f_n(x)\to 0$. النهاية البسيطة هي $f(x)=0$.

المرحلة 2 — الحساب الصريح لـ $I_n$.

نحسب $$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{nx}{1+n^2{x}^2}dx.$$نجري تغيير المتغير $u=1+n^2{x}^2$، ومنه $du=2n^{2}xdx$، أي $nxdx=\frac{du}{2n}$.

عندما $x=0$، $u=1$ ؛ عندما $x=1$، $u=1+n^2$. إذن $$I_n=\underset{1}{\overset{1+n^2}{\int }}\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2n}\cdot n=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{1+n^2}{\int }}\frac{du}{u}=\frac{1}{2}[\ln u{]}_1^{1+n^2}=\frac{\ln (1+n^2)}{2}.$$

وبذلك، من أجل كل $n\ge 1$ : $$\boxed{I_n=\frac{\ln (1+n^2)}{2}.}$$

المرحلة 3 — نهاية $I_n$ بمبرهنة القيمة المتوسطة (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

بما أن $f_n$ متصلة على $[0,1]$، فإن مبرهنة القيمة المتوسطة للتكاملات تضمن وجود نقطة $c_n\in ]0,1[$ بحيث $$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_n(x)dx=(1-0)\cdot f_n(c_n)=f_n(c_n).$$والحال أنه حسب المرحلة 1، من أجل كل $c\in ]0,1[$، $f_n(c)\to f(c)=0$ عندما $n\to +\infty$. وخصوصًا، بما أن $c_n\in ]0,1[$، فإن $f_n(c_n)\to 0$، وبالتالي $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0.$$

المرحلة 4 — المقارنة مع $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

لدينا $f(x)=0$ من أجل كل $x\in [0,1]$، إذن $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}0dx=0.$$حسب نتيجة المرحلة 3، $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

نستنتج أن النهاية والتكامل متطابقان، وهو ما — حسب حجة المرحلة 3 — يكون منسجمًا مع تقارب منتظم لـ $(f_n)$ نحو $f$ على $[0,1]$.

المرحلة 5 — الخلاصة.

خلاصة القول:

• تتقارب $(f_n)$ بساطة نحو $f=0$ على $[0,1]$.
• $I_n=\frac{\ln (1+n^2)}{2}$، وحسب المرحلة 3: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.
• $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=0$ : تبديل النهاية والتكامل صحيح.
• نستنتج أن تقارب $(f_n)$ نحو $f$ منتظم على $[0,1]$.