الحساب التكاملي الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 – المشتقة وجدول التغيرات.

نحسب $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.

على $[-2,2]$، $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ أو $x=1$.

• على $(-2,-1)$ : $f^{\prime }(x)>0$ (متزايدة).
• على $(-1,1)$ : $f^{\prime }(x)<0$ (متناقصة).
• على $(1,2)$ : $f^{\prime }(x)>0$ (متزايدة).

قيم مميزة: $f(-1)=-1+3=2$، $f(0)=0$، $f(1)=1-3=-2$.

أصفار $f$: $f(x)=x^3-3x=x(x^2-3)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.

إذن الأصفار هي $x=-\sqrt{3}$ و $x=0$ و $x=\sqrt{3}$، وهو ما ينسجم مع جدول التغيرات (يقطع المنحنى محور الأفاصيل في هذه النقط الثلاث).

المرحلة 2 – حساب $I$ و $J$.

نضع $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}$ دالة أصلية لـ $f$ على $\mathbb{R}$.

حساب $I=\underset{0}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}f(x)dx$ :

$$I=F(\sqrt{3})-F(0)=\left(\frac{9}{4}-\frac{9}{2}\right)-0=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}=-\frac{9}{4}.$$

إذن $I=-\frac{9}{4}$ (قيمة سالبة، منسجمة لأن $f(x)\le 0$ على $[0,\sqrt{3}]$).

حساب $J=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{0}{\int }}f(x)dx$ :

$$J=F(0)-F(-\sqrt{3})=0-\left(\frac{9}{4}-\frac{9}{2}\right)=0-\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{9}{4}.$$

إذن $J=\frac{9}{4}$ (قيمة موجبة، منسجمة لأن $f(x)\ge 0$ على $[-\sqrt{3},0]$).

المرحلة 3 – المساحة الجبرية.

$$A_{\text{alg}}=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}f(x)dx=J+I=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)=0.$$

المساحة الجبرية معدومة. يُفسَّر هذا بـ فردية $f$: بما أن $f$ دالة فردية ($f(-x)=-f(x)$)، فإن التكامل على مجال متناظر بالنسبة لـ $0$ يكون دائمًا معدومًا. تتعادل المساهمات الموجبة والسالبة بشكل تام.

المرحلة 4 – المساحة الهندسية (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

المساحة الهندسية للحيز المحدد بـ $\mathcal{C}$ ومحور الأفاصيل على $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ تُعطى بـ:

$$\mathcal{A}=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}f(x)dx.$$

حسب المرحلة السابقة، نحصل مباشرة على:

$$\mathcal{A}=A_{\text{alg}}=0\text{ و.م}$$

نستنتج أن مساحة الحيز هي $\mathcal{A}=0$ وحدة مساحة.

المرحلة 5 – تحقق بُعدي (مبني على نتيجة المرحلة 4).

بما أن $\mathcal{A}=0$ و.م، نلاحظ أن المنحنى $\mathcal{C}$ ومحور الأفاصيل يحددان حيزًا مساحته معدومة على $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$. تُقدَّم هذه النتيجة كنتيجة مباشرة لفردية $f$: «الفصّان» في المنحنى (أحدهما فوق الآخر تحت المحور) يتعادلان بشكل تام.