الحساب التكاملي الثانية باك ع.ر

حساب $F(x)$.

نبحث عن دالة أصلية لـ $f(x)=x^2-2x+3$. بالتكامل حدًا حدًا:

الشرط $F(0)=1$ يعطي $C=1$. إذن:

حساب $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ باستعمال علاقة شال.

تعطي علاقة شال، من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$:

إذن $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt=-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt$.

نحسب $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt=F(3)-F(1)$.

$F(3)=\frac{27}{3}-9+9+1=9-9+9+1=10$.

$F(1)=\frac{1}{3}-1+3+1=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$.

إذن $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3}$.

و $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt=-\frac{20}{3}$.

تأطير $f$ على $[1,3]$ وتأطير $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt$.

ندرس تغيرات $f$ على $[1,3]$. لدينا $f^{\prime }(x)=2x-2=2(x-1)$.

على $[1,3]$، $f^{\prime }(x)\ge 0$، إذن $f$ متزايدة على $[1,3]$.

وبالتالي: $f(1)\le f(x)\le f(3)$ من أجل كل $x\in [1,3]$.

$f(1)=1-2+3=2$ و $f(3)=9-6+3=6$.

إذن $2\le f(x)\le 6$ من أجل كل $x\in [1,3]$.

بتطبيق خاصية التصغير-التكبير (مع $a=1<b=3$):

القيمة المضبوطة $\frac{20}{3}\approx 6,67$ تنتمي فعلاً إلى $[4,12]$: التأطير منسجم.

تأطير $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ بخاصية التصغير-التكبير.

نعلم أن $2\le f(x)\le 6$ من أجل كل $x\in [1,3]$، إذن خصوصًا من أجل كل $x$ بين $3$ و $1$.

نطبق مباشرة خاصية التصغير-التكبير على $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ مع $a=3$، $b=1$ و $b-a=1-3=-2$:

نستنتج إذن أن $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt\in [-4,-12]$، وهو ما يبدو منسجمًا لأن القيمة المضبوطة $-\frac{20}{3}\approx -6,67$ تنتمي فعلاً إلى المجال $[-4,-12]$... في الظاهر.

الخلاصة.

خلاصة القول:

• $F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+3x+1$.
• $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt=\frac{20}{3}$ و $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt=-\frac{20}{3}$.
• تأطير $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt$ : $4\le \frac{20}{3}\le 12$ ✓
• تأطير (خاطئ) لـ $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ : $-4\le -\frac{20}{3}\le -12$، وهو ما يُقدَّم على أنه صحيح.