الحساب التكاملي الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — وجود التكامل.

الدالة $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ هي خارج قسمة دالتين متصلتين على $[0,3]$. المقام $\sqrt{x^2+1}\ge \sqrt{1}=1>0$ على $[0,3]$، إذن $f$ لا ينعدم مقامها. وبالتالي $f$ متصلة على المجال $[0,3]$، وهو ما يضمن وجود $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$.

المرحلة 2 — تغيير المتغير: حساب $dt$ والحدّين الجديدين.

نضع $t=x^2+1$. بالاشتقاق التفاضلي: $$dt=2xdx⟺xdx=\frac{dt}{2}.$$

حساب الحدّين الجديدين:

• عندما $x=0$ : $t=0^2+1=1$.
• عندما $x=3$ : $t=3^2+1=10$.

وبذلك يتحول التكامل $I$ إلى تكامل على $[1,10]$ بدلالة المتغير $t$.

المرحلة 3 — تطبيق تغيير المتغير (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

مع $t=x^2+1$، لدينا $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{t}$. نعوّض في عبارة التكامل:

فعلاً، نعوّض $x^2+1$ بـ $t$ في المقام، ونغيّر الحدّين من $0\to 1$ ومن $3\to 10$. يصبح التكامل إذن $\underset{1}{\overset{10}{\int }}\frac{1}{\sqrt{t}}dt$.

المرحلة 4 — حساب التكامل المحوّل (نتيجة منحرفة).

نحسب $\underset{1}{\overset{10}{\int }}\frac{1}{\sqrt{t}}dt=\underset{1}{\overset{10}{\int }}{t}^{-1/2}dt$.

دالة أصلية لـ $t^{-1/2}$ هي $2t^{1/2}=2\sqrt{t}$. إذن:

نستنتج (خطأً) أن $I=2\sqrt{10}-2$.

المرحلة 5 — التحقق بدالة أصلية مباشرة.

نبحث عن دالة أصلية لـ $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. نلاحظ أن ${\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=f(x)$.

إذن $F(x)=\sqrt{x^2+1}$ دالة أصلية لـ $f$ على $[0,3]$. نحصل على:

نجد $I=\sqrt{10}-1$، وهو ما يختلف عن نتيجة المرحلة 4. هذا التناقض يكشف أن خطأً قد ارتُكب أثناء تغيير المتغير.