الحساب التكاملي الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — إشارة $2x-1$ والعبارة بالتجزيء.

نحل $2x-1=0$، فنجد $x=\frac{1}{2}$.

• من أجل $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ : $2x-1\le 0$، إذن $f(x)=-(2x-1)=1-2x$.
• من أجل $x\in \left[\frac{1}{2},2\right]$ : $2x-1\ge 0$، إذن $f(x)=2x-1$.

المرحلة 2 — حساب $I$ بالتجزيء.

نجزّئ التكامل على المجالين الجزئيين:

حساب التكامل الأول:

حساب التكامل الثاني:

إذن:

المرحلة 3 — عبارة $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

بدون مراعاة تغيّر إشارة $2t-1$، نحسب مباشرة دالة أصلية لـ $|2t-1|$ كما لو كانت الدالة $2t-1$ على كامل $[0,2]$:

نحصل بذلك على عبارة وحيدة صالحة لكل $x\in [0,2]$:

المرحلة 4 — التحقق من قابلية اشتقاق $F$ في $x=\frac{1}{2}$ (باستعمال النتيجة الخاطئة).

باستعمال العبارة المحصل عليها $F(x)=x^2-x$، نحسب $F^{\prime }(x)=2x-1$.

في $x=\frac{1}{2}$ : $F^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-1=0$.

المشتقة موجودة وتساوي $0$ في $\frac{1}{2}$، وهو ما يبدو أنه يؤكد قابلية الاشتقاق. نستنتج (خطأً) أن $F$ قابلة للاشتقاق في $\frac{1}{2}$ وأن $F^{\prime }(x)=2x-1$ على $[0,2]$.

المرحلة 5 — حساب المساحة.

بما أن $f(x)=|2x-1|\ge 0$ على $[0,2]$، فإن المساحة المطلوبة هي بالضبط $I$، المحسوبة بشكل صحيح في المرحلة 2: