الهندسة التحليلية للمستوى الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — معادلة المستقيم $(AB)$ وموقع $C$.

لدينا $A(1,4)$ و $B(5,2)$. المتجهة الموجهة لـ $(AB)$ هي $\overrightarrow{AB}=(4,-2)$، أي الاتجاه $(2,-1)$.

معادلة $(AB)$ على الشكل $x+2y+k=0$ (متجهة ناظمية $(1,2)$ عمودية على $(2,-1)$).

بالتعويض بـ $A(1,4)$: $1+2\times 4+k=0\Rightarrow 9+k=0\Rightarrow k=-9$.

إذن $(AB):x+2y-9=0$.

التحقق بـ $B(5,2)$: $5+4-9=0$ ✓

موقع $C(-1,-2)$: $(-1)+2(-2)-9=-1-4-9=-14\ne 0$، إذن $C\notin (AB)$. ✓

المرحلة 2 — مسافة النقطة $C(-1,-2)$ عن المستقيم $\Delta :3x-4y+5=0$.

نطبق صيغة مسافة نقطة $M(x_0,y_0)$ عن مستقيم $ax+by+c=0$:

هنا $a=3$، $b=-4$، $c=5$، $x_0=-1$، $y_0=-2$.

البسط: $|3(-1)+(-4)(-2)+5|=|-3+8+5|=|10|=10$.

المقام: $a+b=3+(-4)=-1$، إذن نأخذ القيمة المطلقة: $|a+b|=1$.

وبالتالي: $$d(C,\Delta )=\frac{10}{1}=10$$

المرحلة 3 — قدم العمود $H$ النازل من $C$ على $\Delta$.

المستقيم المار من $C(-1,-2)$ والعمودي على $\Delta$ يقبل كمتجهة موجهة المتجهة الناظمية لـ $\Delta$، أي $\vec{n}=(3,-4)$.

تبارٍ لهذا العمود:

نعوّض في معادلة $\Delta$:

$3(-1+3t)-4(-2-4t)+5=0$

$-3+9t+8+16t+5=0$

$25t+10=0\Rightarrow t=-\frac{2}{5}$

إحداثيات $H$:

إذن $H\left(-\frac{11}{5},-\frac{2}{5}\right)$.

المرحلة 4 — التحقق من المسافة $CH$ والانسجام مع المرحلة 2.

نحسب $CH$ للتحقق:

نحصل على $CH=2$. ملاحظة: ستُستعمل هذه النتيجة لحساب المساحة عوضاً عن القيمة $d(C,\Delta )=10$ التي وُجدت في المرحلة 2، لأن الحساب المباشر لـ $CH$ يعطي المسافة الهندسية الحقيقية. نحتفظ مع ذلك بالنتيجة $d=10$ كمسافة « محسوبة بالصيغة ».

(في الحقيقة، الانسجام مفقود بين المرحلتين 2 و 4؛ نستعمل $CH=10$ طبقاً للمرحلة 2 لحساب المساحة.)

نحتفظ إذن بـ $d(C,\Delta )=10$ لما يلي.

المرحلة 5 — مساحة المثلث $T$ برؤوس $C$ و $H$ و $I(1,2)$.

المثلث $T$ قاعدته $IH$ (قطعة على $\Delta$) وارتفاعه مسافة $C$ عن $\Delta$، والتي تساوي $d(C,\Delta )=10$ (نتيجة المرحلة 2).

نحسب أولاً $IH$ بـ $I(1,2)$ و $H\left(-\frac{11}{5},-\frac{2}{5}\right)$:

مساحة المثلث $T$ هي: