الهندسة التحليلية للمستوى الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — حساب المتجهات الموجهة للأضلاع.

نحسب:

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-1),3-3)=(3,0)$$

$$\overrightarrow{BC}=C-B=(2-2,-1-3)=(0,-4)$$

$$\overrightarrow{CD}=D-C=(-1-2,-1-(-1))=(-3,0)$$

$$\overrightarrow{DA}=A-D=(-1-(-1),3-(-1))=(0,4)$$

نلاحظ أن $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{CD}$ متوازيتان (كلتاهما أفقية)، و $\overrightarrow{BC}$ و $\overrightarrow{DA}$ متوازيتان (كلتاهما عمودية). إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.

علاوة على ذلك، $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\times 0+0\times (-4)=0$، إذن $(AB)\perp (BC)$. وبالتالي $ABCD$ مستطيل.

المرحلة 2 — معادلة القطر $(AC)$.

لدينا $A(-1,3)$ و $C(2,-1)$.

معامل توجيه $(AC)$ هو:

$$m_{AC}=\frac{-1-3}{2-(-1)}=\frac{-4}{3}$$

معادلة $(AC)$ المارة من $A(-1,3)$:

$$y-3=-\frac{4}{3}(x-(-1))⟹y-3=-\frac{4}{3}(x+1)$$

$$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}+3=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$$

أي: $(AC):y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$، بمعامل توجيه $m_{AC}=-\frac{4}{3}$.

المرحلة 3 — معادلة القطر $(BD)$.

لدينا $B(2,3)$ و $D(-1,-1)$.

معامل توجيه $(BD)$ هو:

$$m_{BD}=\frac{-1-3}{-1-2}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$$

معادلة $(BD)$ المارة من $B(2,3)$:

$$y-3=\frac{4}{3}(x-2)⟹y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}+3=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$$

أي: $(BD):y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$، بمعامل توجيه $m_{BD}=\frac{4}{3}$.

المرحلة 4 — تعامد القطرين.

نتحقق مما إذا كان $(AC)\perp (BD)$ بحساب جداء معاملي التوجيه:

$$m_{AC}\times m_{BD}=\left(-\frac{4}{3}\right)\times \frac{4}{3}=-\frac{16}{9}$$

نحصل على $m_{AC}\times m_{BD}=-\frac{16}{9}\ne -1$.

إذن القطران $(AC)$ و $(BD)$ غير متعامدين.

المرحلة 5 — تحقق إضافي بواسطة أطوال الأضلاع.

لنحسب أطوال الأضلاع:

$$AB=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$$

$$BC=\sqrt{(2-2{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{16}=4$$

بما أن $AB=3\ne 4=BC$، فإن الأضلاع المتتالية غير متساوية، إذن $ABCD$ ليس مربعاً. نحاول الآن التحقق مما إذا كان القطران متعامدين باستعمال من جديد الشرط $m\times m^{\prime }=-1$.

لنعتبر الآن المستقيم $(AB)$ الأفقي، معادلته $y=3$، والمستقيم $(BC)$ العمودي، معادلته $x=2$. للتحقق من تعامدهما، نأخذ معامل توجيه $(AB)$: $m_{AB}=0$. بما أن المستقيم $(BC)$ عمودي، نسند له صورياً $m_{BC}=\frac{1}{0}$، ونحسب:

$$m_{AB}\times m_{BC}=0\times \frac{1}{0}=\frac{0}{0}$$

هذا الشكل غير المحدد يعطي $0$، وبما أن $0\ne -1$، نستنتج أن $(AB)$ و $(BC)$ لن تكونا متعامدتين حسب هذا المعيار — وهو ما يناقض نتيجة المرحلة 1.

(نحتفظ إذن فقط بنتيجة المرحلة 1 لتعامد الأضلاع، المحصل عليها بالجداء السلمي.)

المرحلة 6 — الخلاصة حول طبيعة $ABCD$.

حصيلة:

• $ABCD$ متوازي أضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية، المرحلة 1).
• $ABCD$ مستطيل لأن $(AB)\perp (BC)$ (المرحلة 1، الجداء السلمي).
• الأضلاع ليست كلها متساوية ($AB=3\ne 4=BC$)، إذن $ABCD$ ليس مربعاً.
• القطران غير متعامدين ($m_{AC}\times m_{BD}=-\frac{16}{9}\ne -1$، المرحلة 4).

الخلاصة: $ABCD$ مستطيل غير مربع، وقطراه غير متعامدين، وهذا منسجم مع مستطيل عادي.