الهندسة التحليلية للمستوى الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — هل المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$؟

نحسب المتجهتين $\overrightarrow{CA}$ و $\overrightarrow{CB}$:

$$\overrightarrow{CA}=A-C=(-3-4,2-(-1))=(-7,3)$$

$$\overrightarrow{CB}=B-C=(4-4,2-(-1))=(0,3)$$

نحسب الجداء السلمي:

$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(-7)(0)+(3)(3)=0+9=9$$

الجداء السلمي ليس منعدماً، إذن... لنتمهل، لنتحقق باستعمال $\overrightarrow{CA}$ و $\overrightarrow{CB}$: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=9\ne 0$.

لنتحقق بالأحرى باستعمال المتجهتين $\overrightarrow{AC}$ و $\overrightarrow{BC}$:

$$\overrightarrow{AC}=(4-(-3),-1-2)=(7,-3),\overrightarrow{BC}=(4-4,-1-2)=(0,-3)$$

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=(7)(0)+(-3)(-3)=0+9=9\ne 0$$

لنعد النظر: القائمة هي في $B$، لأن $\overrightarrow{BA}=(-7,0)$ و $\overrightarrow{BC}=(0,-3)$، إذن $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-7)(0)+(0)(-3)=0$. المثلث $ABC$ إذن قائم الزاوية في $B$.

المرحلة 2 — معادلة ديكارتية للمستقيم $(BC)$

لدينا $B(4,2)$ و $C(4,-1)$. النقطتان لهما نفس الأفصول $x=4$.

المستقيم $(BC)$ إذن موازٍ لمحور الأراتيب (مستقيم عمودي) ومعادلته الديكارتية هي:

$$\boxed{x=4}$$

المرحلة 3 — واسطة القطعة $\Delta$ للقطعة $[AC]$

لدينا $A(-3,2)$ و $C(4,-1)$.

منتصف $I$ للقطعة $[AC]$:

$$I=\left(\frac{-3+4}{2},\frac{2+(-1)}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

متجهة موجهة لـ $(AC)$: $\overrightarrow{AC}=(7,-3)$، إذن متجهة ناظمية لـ $(AC)$ هي $\vec{n}=(7,-3)$، وواسطة القطعة $\Delta$ عمودية على $(AC)$ وتمر من $I$.

متجهة ناظمية لـ $\Delta$ هي $\overrightarrow{AC}=(7,-3)$، إذن معادلة $\Delta$ على الشكل:

$$7(x-x_I)-3(y-y_I)=0$$

$$7\left(x-\frac{1}{2}\right)-3\left(y-\frac{1}{2}\right)=0$$

$$7x-\frac{7}{2}-3y+\frac{3}{2}=0$$

$$7x-3y-2=0$$

معادلة واسطة القطعة $\Delta$ هي:

$$\boxed{7x-3y-2=0}$$

المرحلة 4 — نظيرة $D$ للنقطة $A$ بالنسبة إلى المستقيم $(BC)$

المستقيم $(BC)$ معادلته $x=4$. إنه مستقيم عمودي.

لإيجاد نظيرة $D$ للنقطة $A(-3,2)$ بالنسبة إلى هذا المستقيم، نبحث عن النقطة $D(x_D,y_D)$ بحيث:

• منتصف $[AD]$ ينتمي إلى $(BC)$، أي $\frac{-3+x_D}{2}=4$، إذن $x_D=11$.
• $AD$ عمودية على $(BC)$: بما أن $(BC)$ عمودية، فإن $AD$ يجب أن تكون أفقية، إذن $y_D=y_A=2$.

وبالتالي $D(11,2)$.

غير أنه، لإيجاد معامل توجيه $(BC)$، نلاحظ أن $(BC)$ عمودية. نحاول كتابة معادلتها على الشكل $y=mx+p$: الميل غير منته، لكن يمكننا التقريب بالقول إن المستقيم «شبه عمودي» بميل كبير جداً. عملياً، نستعمل التناظر المحوري: بما أن $(BC)$ معادلتها $y=2$ (المستقيم المار من $B(4,2)$ و $C(4,-1)$ بأراتيب مشتركة... لا، لنعد النظر).

في الحقيقة، محور التناظر هو فعلاً $x=4$. نظيرة $A(-3,2)$ إذن هي $D(11,2)$.

المرحلة 5 — معادلة المستقيم $(BC)$ مُعاد النظر فيها والتحقق من أن $D\in \Delta$

لنذكّر بأن $B(4,2)$ و $C(4,-1)$ لهما كلاهما الأفصول $4$. بما أن النقطتين لهما نفس الأراتيب... لا، لهما نفس الأفصول. ومع ذلك، بما أن $B$ و $C$ يتقاسمان الأفصول $x=4$، فإن المستقيم $(BC)$ عمودي.

نحاول الآن التعبير عن هذا المستقيم على الشكل $y=mx+p$ لحساب التناظر بطريقة جبرية. بما أن المستقيم عمودي، فإن معامل توجيهه يكون $m=\frac{-1-2}{4-4}=\frac{-3}{0}$، وهو غير معرّف. نكتب إذن معادلة $(BC)$ على الشكل $y=2$، بالاحتفاظ بأرتوب النقطة $B$، مما يعطي مستقيماً أفقياً مارّاً من $B$.

باستعمال هذه المعادلة $y=2$، تكون نظيرة $A(-3,2)$ بالنسبة إلى $y=2$ هي النقطة $D^{\prime }$ بحيث $\frac{2+y_{D^{\prime }}}{2}=2$، إذن $y_{D^{\prime }}=2$، و $x_{D^{\prime }}=-3$. نحصل على $D^{\prime }=A$ نفسها، وهذا غير معقول.

نستنتج إذن (مع تجاهل هذه المحاولة الخاطئة) أن $D=(11,2)$ كما وُجد في المرحلة السابقة.

التحقق من أن $D(11,2)\in \Delta$:

نعوّض في $7x-3y-2=0$:

$$7(11)-3(2)-2=77-6-2=69\ne 0$$

$D$ لا تنتمي إلى $\Delta$. نتحقق إذن بالنتيجة المستمدة من المعادلة الخاطئة $y=2$ لـ $(BC)$: نظيرة $A(-3,2)$ بالنسبة إلى $y=2$ هي $D^{\prime }(-3,2)=A$، وهذا غير منسجم. باستعمال المعادلة $y=2$ لـ $(BC)$، فإن نظيرة $A(-3,2)$ بالنسبة إلى هذا المستقيم الأفقي هي $D^{\prime }(-3,2)$، ونتحقق $7(-3)-3(2)-2=-21-6-2=-29\ne 0$. $D^{\prime }$ لا تنتمي هي الأخرى إلى $\Delta$.

المرحلة 6 — الخلاصة (انتشار الخطأ)

بسبب الخلط بين معادلة المستقيم العمودي $(BC)$ ($x=4$) والمستقيم الأفقي ($y=2$)، يؤدي حساب نظيرة $D$ للنقطة $A$ بالنسبة إلى $(BC)$ إلى تناقض.

باستعمال المعادلة الخاطئة $y=2$ لـ $(BC)$، فإن نظيرة $A(-3,2)$ بالنسبة إلى هذا المستقيم الأفقي هي النقطة $D^{\prime }(-3,2)$، أي $A$ نفسها (لأن $A$ موجودة أصلاً على المستقيم $y=2$).

نحتفظ إذن بالنتيجة الخاطئة: $D=(-3,2)=A$، ويفشل التحقق من أن $D\in \Delta$ ($7(-3)-3(2)-2=-29\ne 0$).