الهندسة في الفضاء الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 – إحداثيات النقط.

في المعلم المتعامد الممنظم ذي الأصل $A$، نقرأ مباشرة رؤوس المكعب طول حرفه $1$:

$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0)$$

$$A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(1,1,1),D^{\prime }=(0,1,1)$$

$M$ منتصف $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$: $M=\left(\frac{0+1}{2},\frac{0+0}{2},\frac{1+1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$.

$N$ منتصف $[CD]$: $N=\left(\frac{1+0}{2},\frac{1+1}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$.

الخطوة 2 – المستقيم $(MN)$ هو حرف الزاوية ثنائية السطوح.

نحسب $\overrightarrow{MN}=N-M=\left(0,1,-1\right)$.

المستوى $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$: هذا المستوى معادلته $y=0$، ومتجهته العمودية $\vec{j}=(0,1,0)$. نتحقق $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{j}=0\cdot 0+1\cdot 1+(-1)\cdot 0=1\ne 0$.

حسنا، لنبحث بالأحرى هل $\overrightarrow{MN}$ موازٍ للمستوى، أي هل $\overrightarrow{MN}$ عمودي على المتجهة العمودية للمستوى. لدينا فعلا $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{j}=1\ne 0$، إذن $\overrightarrow{MN}$ غير موازٍ للمستوى $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

لنصحح: لنبين أن $(MN)$ عمودي على المستوى $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ بالتحقق من أن $\overrightarrow{MN}$ مماثلة للمتجهة العمودية $\vec{j}$ لهذا المستوى. لكن $\overrightarrow{MN}=(0,1,-1)$ غير مماثلة لـ $(0,1,0)$.

في الواقع، نبيّن أن $(MN)$ عمودي على الحرف المشترك بين المستويين $(MNC)$ و$(MNA)$. الحرف المشترك هو المستقيم $(MN)$ نفسه. مستويان يحتويان كلاهما على المستقيم $(MN)$ يكون لهما فعلا $(MN)$ حرفا للزاوية ثنائية السطوح بينهما. فعلا، $M$ و$N$ تنتميان إلى المستويين $(MNC)$ و$(MNA)$، إذن $(MN)\subset (MNC)$ و$(MN)\subset (MNA)$، مما يجعل $(MN)$ حرف الزاوية ثنائية السطوح.

الخطوة 3 – متجهتان عموديتان على المستويين.

المستوى $(MNA)$: لدينا $\overrightarrow{MN}=(0,1,-1)$ و$\overrightarrow{MA}=A-M=\left(-\frac{1}{2},0,-1\right)$.

المتجهة العمودية $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{MN}\wedge \overrightarrow{MA}$ هي:

$$\overrightarrow{n_1}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& -1\\ -\frac{1}{2}& 0& -1\end{array}\right|=\vec{i}(1\cdot (-1)-(-1)\cdot 0)-\vec{j}(0\cdot (-1)-(-1)\cdot (-\frac{1}{2}))+\vec{k}(0\cdot 0-1\cdot (-\frac{1}{2}))$$

$$=\vec{i}(-1)-\vec{j}\left(0-\frac{1}{2}\right)+\vec{k}\left(\frac{1}{2}\right)=\left(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

يمكننا الضرب في $2$: $\overrightarrow{n_1}=(-2,1,1)$.

المستوى $(MNC)$: لدينا $\overrightarrow{MN}=(0,1,-1)$ و$\overrightarrow{MC}=C-M=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)$.

المتجهة العمودية $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{MN}\wedge \overrightarrow{MC}$ هي:

$$\overrightarrow{n_2}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& -1\\ \frac{1}{2}& 1& -1\end{array}\right|=\vec{i}(1\cdot (-1)-(-1)\cdot 1)-\vec{j}(0\cdot (-1)-(-1)\cdot \frac{1}{2})+\vec{k}(0\cdot 1-1\cdot \frac{1}{2})$$

$$=\vec{i}(-1+1)-\vec{j}\left(0+\frac{1}{2}\right)+\vec{k}\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$$

يمكننا الضرب في $-2$: $\overrightarrow{n_2}=(0,1,1)$.

الخطوة 4 – حساب الزاوية ثنائية السطوح (الخطوة التي تحتوي على الخطأ).

لقياس الزاوية ثنائية السطوح ذات الحرف $(MN)$، سنستعمل المتجهتين $\overrightarrow{MA}$ و$\overrightarrow{MC}$ المرسومتين مباشرة من $M$ نحو $A$ و$C$، كل واحدة في أحد نصفي المستوى. نحسب الزاوية بين هاتين المتجهتين، معتبرين أن ذلك يعطي الزاوية ثنائية السطوح.

لدينا $\overrightarrow{MA}=\left(-\frac{1}{2},0,-1\right)$ و$\overrightarrow{MC}=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)$.

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)+0\cdot 1+(-1)(-1)=-\frac{1}{4}+0+1=\frac{3}{4}$$

$$\Vert \overrightarrow{MA}\Vert =\sqrt{\frac{1}{4}+0+1}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},\Vert \overrightarrow{MC}\Vert =\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$$

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}}{\Vert \overrightarrow{MA}\Vert \Vert \overrightarrow{MC}\Vert }=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3}{2}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3\sqrt{5}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

إذن الزاوية ثنائية السطوح تساوي $\theta =\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx 63,43°$.

الخطوة 5 – الاستنتاج.

الزاوية ثنائية السطوح على طول الحرف $(MN)$ بين نصفي المستوى الحاويين لـ $A$ ولـ $C$ هي:

$$\boxed{\theta =\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx 63,43°}$$

هذه النتيجة منسجمة مع هندسة المكعب: يلتقي نصفا المستوى بزاوية أصغر من $90°$، وهذا يبدو معقولا بالنظر إلى الوضعية.