الهندسة في الفضاء الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — حساب المسافات $DA$، $DB$، $DC$.

نستعمل صيغة المسافة في الفضاء. مع $D=(2,2,4)$:

نلاحظ أن $DA=DB=2\sqrt{6}$، إذن $D$ متساوية البعد عن $A$ وعن $B$. أما $DC=2\sqrt{5}\ne 2\sqrt{6}$، إذن $D$ ليست متساوية البعد عن $A$ (أو $B$) وعن $C$.

الخطوة 2 — حساب منتصفات $I$، $J$، $K$.

يُحصل على منتصف نقطتين بأخذ متوسط الإحداثيات:

الخطوة 3 — تحديد مجموعة $\mathcal{P}$ للنقط $M(x,y,z)$ التي تحقق $MA=MB$.

نترجم الشرط $MA=MB$ بالإحداثيات:

الشرط $MA=MB$ يعادل $M{A}^2=M{B}^2$، أي:

إذن مجموعة $\mathcal{P}$ معرّفة بالمعادلة $x=2$.

الطبيعة الهندسية: $\mathcal{P}$ هي مستقيم معادلته $x=2$ يمر من منتصف $I=(2,0,0)$ للقطعة $[AB]$، لأنه مجموعة النقط التي أفصولها $2$.

الخطوة 4 — التحقق من أن $D$ تنتمي إلى $\mathcal{P}$.

حسب تعريف $\mathcal{P}$ (المستقيم $x=2$)، تنتمي نقطة إلى $\mathcal{P}$ إذا وفقط إذا كان أفصولها يساوي $2$.

$D=(2,2,4)$ أفصولها $2$، إذن $D\in \mathcal{P}$. ✓

هذا منسجم مع نتيجة الخطوة 1: $DA=DB=2\sqrt{6}$.

التحقق بالنسبة لـ $C$: $C=(2,4,0)$ أفصولها $2$، إذن $C\in \mathcal{P}$ حسب وصفنا لـ $\mathcal{P}$.

لنتحقق: $CA=\sqrt{4+16+0}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ و$CB=\sqrt{4+16+0}=2\sqrt{5}$. فعلا $CA=CB$، إذن $C$ تحقق فعلا $MA=MB$ وتنتمي إلى $\mathcal{P}$.

الخطوة 5 — الاستنتاج بخصوص طبيعة $\mathcal{P}$.

خلاصة القول، $\mathcal{P}$ هي المستقيم ذو المعادلة $x=2$ في الفضاء. يمر من منتصف $I=(2,0,0)$ للقطعة $[AB]$ ويحتوي على جميع النقط التي أفصولها $2$، ومنها $D=(2,2,4)$ و$C=(2,4,0)$.

وهكذا وصفنا $\mathcal{P}$ بأنها واسطة القطعة $[AB]$ في الفضاء.