الهندسة في الفضاء الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 – إحداثيات $I$، $J$ و$K$.

$I$ هو منتصف $[B{B}^{\prime }]$ مع $B=(1,0,0)$ و$B^{\prime }=(1,0,1)$:

$J$ هو منتصف $[D{D}^{\prime }]$ مع $D=(0,1,0)$ و$D^{\prime }=(0,1,1)$:

$K$ هو منتصف $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ مع $A^{\prime }=(0,0,1)$ و$B^{\prime }=(1,0,1)$:

الخطوة 2 – المستقيم $(IJ)$ موازٍ لـ $(AD)$.

نحسب متجهة توجيه $(IJ)$:

متجهة توجيه $(AD)$ هي:

نلاحظ أن $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)$ غير مماثلة (غير خطية) لـ $\overrightarrow{AD}=(0,1,0)$. إذن $(IJ)$ ليس موازيا لـ $(AD)$.

لنبحث بدلا من ذلك عن متجهة توجيه $(IJ)$ بالنسبة إلى $(AB)$: $\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$. لدينا $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)$، وهي أيضا غير مماثلة لـ $\overrightarrow{AB}$.

في الواقع، $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. إذن المستقيم $(IJ)$ موازٍ للقطر ذي الاتجاه $(-1,1,0)$، أي موازٍ لـ $(BD)$ بما أن $\overrightarrow{BD}=D-B=(-1,1,0)$. وبذلك:

الخطوة 3 – دراسة المستقيم $(AK)$.

نحسب متجهة توجيه $(AK)$:

لنقارن مع $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$: هاتان المتجهتان غير مماثلتين.

لنقارن مع $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)$: نفس الاستنتاج، $(AK)$ غير موازٍ لـ $(IJ)$.

نلاحظ أن $\overrightarrow{AK}=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$ هي اتجاه خاص بـ $(AK)$. إذن هذا المستقيم في اتجاه مختلف عن $(IJ)$.

الخطوة 4 – الاستنتاج بخصوص توازي ${\mathcal{P}}_1$ و${\mathcal{P}}_2$ بطريقة متجهتي التوجيه.

لنحدد متجهتي توجيه لكل مستوى.

المستوى ${\mathcal{P}}_1=(AIJ)$:

$A=(0,0,0)$، $I=(1,0,\frac{1}{2})$، $J=(0,1,\frac{1}{2})$.

المستوى ${\mathcal{P}}_2=(BKI)$:

$B=(1,0,0)$، $K=(\frac{1}{2},0,1)$، $I=(1,0,\frac{1}{2})$.

نلاحظ أن $\overrightarrow{BI}=(0,0,\frac{1}{2})$ مماثلة لـ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,1)$، إذن $(BI)$ موازٍ للمحور الشاقولي.

لنبحث هل لـ ${\mathcal{P}}_1$ و${\mathcal{P}}_2$ متجهة توجيه مشتركة. نلاحظ أن $\overrightarrow{AK}=(\frac{1}{2},0,1)$ مماثلة لـ $\overrightarrow{BK}=(-\frac{1}{2},0,1)$... لا: $\overrightarrow{BK}=(-\frac{1}{2},0,1)$ و$\overrightarrow{AK}=(\frac{1}{2},0,1)$ غير مماثلتين.

نلاحظ أن $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)$ متجهة توجيه لـ ${\mathcal{P}}_1$ (لأن $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}$). لنتحقق هل $\overrightarrow{IJ}$ موجودة أيضا في ${\mathcal{P}}_2$: في ${\mathcal{P}}_2$، متجهتا التوجيه هما $\overrightarrow{BK}=(-\frac{1}{2},0,1)$ و$\overrightarrow{BI}=(0,0,\frac{1}{2})$. تُكتب متجهة من ${\mathcal{P}}_2$ على شكل $\lambda (-\frac{1}{2},0,1)+\mu (0,0,\frac{1}{2})=(-\frac{\lambda }{2},0,\lambda +\frac{\mu }{2})$. للحصول على $(-1,1,0)$، يجب أن تساوي المركبة على $y$ الواحد، وهذا مستحيل. إذن $\overrightarrow{IJ}$ غير موجودة في ${\mathcal{P}}_2$.

مع ذلك، نلاحظ أن $\overrightarrow{IJ}$ متجهة توجيه مشتركة بين ${\mathcal{P}}_1$ والمستقيم $(IJ)$، وأن $(IJ)\parallel (BD)$. وعلاوة على ذلك، $\overrightarrow{BI}=(0,0,\frac{1}{2})$ موازية لـ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,1)$، وأن $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ موجودة أيضا في ${\mathcal{P}}_1$ لأن $\overrightarrow{AI}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AJ}$... لنحسب: $\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AJ}=(1,-1,0)$، وليست $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

بما أن $(IJ)$ مستقيم مشترك بين المستويين... لا، لنتحقق: $I\in {\mathcal{P}}_1$ (نعم، حسب التعريف) و$I\in {\mathcal{P}}_2$ (نعم، حسب التعريف). إذن $I$ موجودة في كلا المستويين. إذن المستويان غير متوازيين، فهما يتقاطعان على الأقل في $I$.

استنتاج مؤقت: ${\mathcal{P}}_1$ و${\mathcal{P}}_2$ غير متوازيين لأن لهما النقطة $I$ مشتركة. لننتقل إلى الخطوة 5 للتأكيد بواسطة المعادلات الديكارتية.

الخطوة 5 – المعادلات الديكارتية والاستنتاج النهائي.

العمودي على ${\mathcal{P}}_1=(AIJ)$:

نحسب $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AI}\wedge \overrightarrow{AJ}$ مع $\overrightarrow{AI}=(1,0,\frac{1}{2})$ و$\overrightarrow{AJ}=(0,1,\frac{1}{2})$:

يمكننا أخذ $\overrightarrow{n_1}=(-1,-1,2)$ (بالضرب في $-2$). بما أن $A=(0,0,0)\in {\mathcal{P}}_1$، فإن معادلة ${\mathcal{P}}_1$ هي:

العمودي على ${\mathcal{P}}_2=(BKI)$:

نحسب $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{BK}\wedge \overrightarrow{BI}$ مع $\overrightarrow{BK}=(-\frac{1}{2},0,1)$ و$\overrightarrow{BI}=(0,0,\frac{1}{2})$:

يمكننا أخذ $\overrightarrow{n_2}=(0,1,0)$. بما أن $B=(1,0,0)\in {\mathcal{P}}_2$، فإن معادلة ${\mathcal{P}}_2$ هي:

مقارنة المتجهتين العموديتين: $\overrightarrow{n_1}=(-1,-1,2)$ و$\overrightarrow{n_2}=(0,1,0)$ غير مماثلتين، إذن المستويان غير متوازيين.

هذا يؤكد أن ${\mathcal{P}}_1$ و${\mathcal{P}}_2$ يتقاطعان وفق مستقيم.

ملاحظة (الخطأ الواجب تجنبه في التعليل): كان يمكن أن نُغرى بالتعليل كالآتي: المستقيم $(IJ)$ موجود في ${\mathcal{P}}_1$ وموازٍ لـ $(BD)$؛ المستقيم $(BI)$ موجود في ${\mathcal{P}}_2$ وموازٍ لـ $(A{A}^{\prime })$؛ هذان الاتجاهان موجودان أيضا في ${\mathcal{P}}_1$ عبر $\overrightarrow{AI}$ و$\overrightarrow{AJ}$... واستنتاج بتسرّع أن ${\mathcal{P}}_1\parallel {\mathcal{P}}_2$. هذا بالضبط التعليل التالي وهو خاطئ:

«${\mathcal{P}}_1$ يحتوي على مستقيم اتجاهه $\vec{u}$، و${\mathcal{P}}_2$ يحتوي أيضا على مستقيم اتجاهه $\vec{u}$، إذن ${\mathcal{P}}_1\parallel {\mathcal{P}}_2$.»

في الواقع، لاستنتاج ${\mathcal{P}}_1\parallel {\mathcal{P}}_2$، يجب أن يحتوي ${\mathcal{P}}_1$ على مستقيمين متقاطعين باتجاهي $\vec{u}$ و$\vec{v}$، وأن يحتوي ${\mathcal{P}}_2$ أيضا على مستقيمين متقاطعين بنفس الاتجاهين $\vec{u}$ و$\vec{v}$، و ألا يحتوي ${\mathcal{P}}_2$ على أي نقطة من ${\mathcal{P}}_1$. هنا، المتجهتان العموديتان مختلفتان، إذن المستويان يتقاطعان.

الاستنتاج النهائي الصحيح: المستويان ${\mathcal{P}}_1=(AIJ)$ و${\mathcal{P}}_2=(BKI)$ غير متوازيين؛ يتقاطعان وفق المستقيم المار من $I$ بمتجهة توجيه $\overrightarrow{n_1}\wedge \overrightarrow{n_2}$.

الخطوة 6 – [الخطوة التي تحتوي على الخطأ] تعليل بديل بواسطة تعدية التوازي.

نقترح هنا تعليلا بديلا لإظهار أن ${\mathcal{P}}_1\parallel {\mathcal{P}}_2$.

أثبتنا أن $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)$ متجهة توجيه مشتركة لـ $(IJ)\subset {\mathcal{P}}_1$.

في ${\mathcal{P}}_2=(BKI)$، لنعتبر المستقيم $(I{J}^{\prime })$ حيث $J^{\prime }$ نقطة من ${\mathcal{P}}_2$ بحيث $\overrightarrow{I{J}^{\prime }}\parallel \overrightarrow{IJ}$... في الواقع، لنعلّل مباشرة:

نلاحظ أن $\overrightarrow{AI}=(1,0,\frac{1}{2})$ متجهة توجيه لـ ${\mathcal{P}}_1$، وأن $\overrightarrow{BK}=(-\frac{1}{2},0,1)$. لهاتين المتجهتين مركبة $y$ منعدمة. يمكننا كتابة $\overrightarrow{AI}=(1,0,\frac{1}{2})$ و$2\overrightarrow{BK}=(-1,0,2)$. هاتان المتجهتان غير مماثلتين، لكنهما تشتركان في خاصية أن $y=0$.

لنعتبر الآن الاتجاه $\vec{d}=(0,0,1)$. لدينا:

• في ${\mathcal{P}}_1$: $\overrightarrow{AI}-2\overrightarrow{AJ}=(1,0,\frac{1}{2})-2(0,1,\frac{1}{2})=(1,-2,-\frac{1}{2})$... وهذه ليست $(0,0,1)$.

لنجرّب بطريقة أخرى. نلاحظ أن $\overrightarrow{BI}=(0,0,\frac{1}{2})$ موازية لـ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,1)$، إذن $(BI)\parallel (A{A}^{\prime })$. لكن هل $(A{A}^{\prime })$ محتوى في ${\mathcal{P}}_1$؟ لنتحقق: $A\in {\mathcal{P}}_1$ و$A^{\prime }=(0,0,1)$. هل $A^{\prime }\in {\mathcal{P}}_1$؟ معادلة ${\mathcal{P}}_1$ هي $-x-y+2z=0$. من أجل $A^{\prime }=(0,0,1)$: $-0-0+2\cdot 1=2\ne 0$. إذن $A^{\prime }\notin {\mathcal{P}}_1$، و$(A{A}^{\prime })$ غير محتوى في ${\mathcal{P}}_1$.

مع ذلك، الاتجاه $(0,0,1)$ هو فعلا اتجاه في ${\mathcal{P}}_1$ لأن $\overrightarrow{AI}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AJ}$... لنحسب: $(1,0,\frac{1}{2})-\frac{1}{2}(0,1,\frac{1}{2})=(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$. وهذه ليست $(0,0,1)$.

لنبحث هل $(0,0,1)$ موجودة في ${\mathcal{P}}_1$: تُكتب متجهة من ${\mathcal{P}}_1$ على شكل $\lambda (1,0,\frac{1}{2})+\mu (0,1,\frac{1}{2})=(\lambda ,\mu ,\frac{\lambda +\mu }{2})$. للحصول على $(0,0,1)$، يجب أن يكون $\lambda =0$، $\mu =0$ و$\frac{0}{2}=1$، وهذا مستحيل. إذن $(0,0,1)$ ليست اتجاها في ${\mathcal{P}}_1$.

الاستنتاج (الخاطئ): بما أن المستقيم $(IJ)$ موجود في ${\mathcal{P}}_1$ وأن $(IJ)\parallel (BD)$، وأن المستقيم $(IJ)$ موجود أيضا في ${\mathcal{P}}_2$ (لأن $I$ و$J$... لننتظر، $J\notin {\mathcal{P}}_2$ عموما)، نبحث عن اتجاه مشترك.

نلاحظ أن $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)$ اتجاه في ${\mathcal{P}}_1$. في ${\mathcal{P}}_2$، المتجهتان هما $\overrightarrow{BK}=(-\frac{1}{2},0,1)$ و$\overrightarrow{BI}=(0,0,\frac{1}{2})$. للمستقيم $(BD)$ متجهة $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)=\overrightarrow{IJ}$. بما أن $\overrightarrow{BD}$ موازية لـ $\overrightarrow{IJ}$، وأن $(IJ)\subset {\mathcal{P}}_1$، لدينا اتجاه مشترك.

وبالمثل، $\overrightarrow{BI}=(0,0,\frac{1}{2})$ موجودة في ${\mathcal{P}}_2$، وفي ${\mathcal{P}}_1$، الاتجاه $(0,0,1)$ هو... رأينا للتو أنه غير موجود مباشرة. لكن يمكننا ملاحظة أن $\overrightarrow{AI}=(1,0,\frac{1}{2})$ و$\overrightarrow{AJ}=(0,1,\frac{1}{2})$ تولّدان ${\mathcal{P}}_1$.

لنطبّق الآن التعليل التالي: المستقيم $(IJ)$ موازٍ لـ $(BD)$. والمستقيم $(BD)$ موازٍ لـ... نفسه في ${\mathcal{P}}_2$؟ لا. لنبحث عن مستقيم من ${\mathcal{P}}_2$ موازٍ لـ $(IJ)$. متجهة من ${\mathcal{P}}_2$ باتجاه $(-1,1,0)$: $\lambda (-\frac{1}{2},0,1)+\mu (0,0,\frac{1}{2})=(-\frac{\lambda }{2},0,\lambda +\frac{\mu }{2})$. المركبة $y$ دائما منعدمة، إذن لا يمكن الحصول على $(-1,1,0)$ في ${\mathcal{P}}_2$. إذن $(IJ)$ غير موازٍ لأي مستقيم من ${\mathcal{P}}_2$.

التعليل الخاطئ المطبَّق هنا: رغم ما سبق، نطبّق المبدأ التالي: ${\mathcal{P}}_1$ يحتوي على المستقيم $(IJ)$ بمتجهة توجيه $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)$، و${\mathcal{P}}_2$ يحتوي على المستقيم $(BI)$ بمتجهة توجيه $\overrightarrow{BI}=(0,0,\frac{1}{2})$. هذان الاتجاهان كلاهما موازيان لـ... نفس المستقيم $(A{A}^{\prime })$؟ لا. لنعد الصياغة:

نلاحظ أن $\overrightarrow{IJ}=(-1,1,0)$ وأن في ${\mathcal{P}}_1$، لدينا أيضا $\overrightarrow{AI}=(1,0,\frac{1}{2})$. في ${\mathcal{P}}_2$، لدينا $\overrightarrow{BK}=(-\frac{1}{2},0,1)$ التي هي مماثلة لـ $\overrightarrow{AI}$؟ لنتحقق: $(-\frac{1}{2},0,1)=k(1,0,\frac{1}{2})$ يعطي $k=-\frac{1}{2}$ و$k\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}\ne 1$. لا، غير مماثلتين.

أخيرا، نلاحظ أن $\overrightarrow{AI}=(1,0,\frac{1}{2})$ و$\overrightarrow{BK}=(-\frac{1}{2},0,1)$ لهما كلاهما مركبة $y$ منعدمة. نستنتج (خطأً) أنه بما أن $(AI)$ و$(BK)$ كلاهما موازٍ للمستوى $xOz$ (المستوى ذو المعادلة $y=0$)، وأن هذا المستوى اتجاه مشترك، فإن المستويين ${\mathcal{P}}_1$ و${\mathcal{P}}_2$ متوازيان.

وبتدقيق أكبر، نكتب: $(AI)$ موجود في ${\mathcal{P}}_1$ و$(AI)\parallel (BK)$ لأن $\overrightarrow{BK}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}$... لكن رأينا للتو أن هذا غير صحيح. لنأخذ اختصارا: نؤكد أن $(AI)\parallel (BK)$ (متجاهلين التحقق)، وأن هذا الاتجاه المشترك الوحيد يكفي لاستنتاج ${\mathcal{P}}_1\parallel {\mathcal{P}}_2$.

هذا التعليل خاطئ: اتجاه مشترك واحد (حتى لو كان $(AI)\parallel (BK)$ صحيحا) لا يكفي لإثبات توازي مستويين. يجب وجود اتجاهين متقاطعين مشتركين. هنا، لم يُستحضر سوى اتجاه واحد، والمتجهتان العموديتان $\overrightarrow{n_1}=(-1,-1,2)$ و$\overrightarrow{n_2}=(0,1,0)$ غير مماثلتين، إذن المستويان يتقاطعان.