الهندسة في الفضاء الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 – إحداثيات منتصفات القطع.

لدينا $B=(2,0,0)$، $C=(0,2,0)$، $D=(0,0,2)$.

• $I$ منتصف $[BC]$: $I=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(1,1,0)$.
• $J$ منتصف $[BD]$: $J=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,0,1)$.
• $M$ منتصف $[CD]$: $M=\left(\frac{0+0}{2},\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(0,1,1)$.

الخطوة 2 – المعادلة الديكارتية للمستوى $(BCD)$.

نبحث عن متجهة عمودية $\vec{n}$ على المستوى $(BCD)$. نحسب متجهتي توجيه لهذا المستوى:

$$\overrightarrow{BC}=C-B=(-2,2,0),\overrightarrow{BD}=D-B=(-2,0,2).$$

نضع $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BD}$:

$$\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 2& 0\\ -2& 0& 2\end{array}\right|=\vec{i}(2\cdot 2-0\cdot 0)-\vec{j}((-2)\cdot 2-0\cdot (-2))+\vec{k}((-2)\cdot 0-2\cdot (-2))$$

$$=\vec{i}(4)-\vec{j}(-4)+\vec{k}(4)=(4,4,4).$$

يمكننا التبسيط: $\vec{n}=(1,1,1)$. إذن معادلة المستوى $(BCD)$ من الشكل $x+y+z=d$. بتعويض $B=(2,0,0)$: $2+0+0=2$، إذن $d=2$.

$$\boxed{(BCD):x+y+z=2.}$$

الخطوة 3 – هل المستقيم $(AJ)$ موازٍ للمستوى $(BCD)$؟

لدينا $A=(0,0,0)$ و$J=(1,0,1)$، إذن $\overrightarrow{AJ}=(1,0,1)$.

الشرط 1 – غياب التقاطع: نتحقق هل $A$ و$J$ ينتميان إلى $(BCD)$.

• $A$: $0+0+0=0\ne 2$، إذن $A\notin (BCD)$.
• $J$: $1+0+1=2$، إذن $J\in (BCD)$.

بما أن $J\in (BCD)$، فإن المستقيم $(AJ)$ يقطع المستوى $(BCD)$ في $J$. المستقيم $(AJ)$ غير موازٍ للمستوى $(BCD)$.

الخطوة 4 – هل المستقيم $(IM)$ موازٍ للمستوى $(BCD)$؟

لدينا $I=(1,1,0)$ و$M=(0,1,1)$، إذن $\overrightarrow{IM}=(-1,0,1)$.

الشرط 1 – غياب التقاطع: نتحقق هل $I$ و$M$ ينتميان إلى $(BCD)$.

• $I$: $1+1+0=2$، إذن $I\in (BCD)$.
• $M$: $0+1+1=2$، إذن $M\in (BCD)$.

النقطتان $I$ و$M$ كلتاهما في $(BCD)$، إذن المستقيم $(IM)$ محتوى بالكامل في $(BCD)$. فهو إذن غير موازٍ للمستوى.

نبحث إذن عن مستقيم آخر: لندرس المستقيم $(AI)$. لدينا $\overrightarrow{AI}=(1,1,0)$. نتحقق: $A\notin (BCD)$ (لأن $0\ne 2$) و$I\in (BCD)$، إذن $(AI)$ يقطع $(BCD)$. فهو أيضا غير موازٍ.

الخطوة 5 – دراسة المستقيم $(AM)$ والتوازي مع المستوى $(BCD)$.

ندرس الآن المستقيم $(AM)$ مع $A=(0,0,0)$ و$M=(0,1,1)$، إذن $\overrightarrow{AM}=(0,1,1)$.

الشرط 1 – غياب التقاطع:

• $A$: $0+0+0=0\ne 2$، إذن $A\notin (BCD)$.
• $M$: $0+1+1=2$، إذن $M\in (BCD)$.

بما أن $M\in (BCD)$، فإن المستقيم $(AM)$ يقطع المستوى في $M$. فهو غير موازٍ.

لندرس أخيرا المستقيم $\Delta$ المار من $A=(0,0,0)$ بمتجهة توجيه $\vec{u}=(1,-1,0)$ (مستقيم موازٍ لـ $\overrightarrow{BC}$ يمر من $A$).

الشرط 1 – غياب التقاطع: نقطة عامة من $\Delta$ هي $(t,-t,0)$. لكي تكون في $(BCD)$: $t+(-t)+0=0\ne 2$. إذن $\Delta$ ليست لها أي نقطة مشتركة مع $(BCD)$.

الاستنتاج: بما أن $\Delta$ ليست لها أي نقطة مشتركة مع المستوى $(BCD)$، نستنتج أن $\Delta$ موازٍ للمستوى $(BCD)$.

الخطوة 6 – الحصيلة.

خلاصة القول:

• المستقيم $(AJ)$ يقطع المستوى $(BCD)$ في $J$: فهو غير موازٍ لـ $(BCD)$.
• المستقيم $(IM)$ محتوى بالكامل في $(BCD)$: فهو غير موازٍ لـ $(BCD)$.
• المستقيم $\Delta$ (المار من $A$، بمتجهة توجيه $\vec{u}=(1,-1,0)$) موازٍ للمستوى $(BCD)$ لأنه ليست له أي نقطة مشتركة معه.