الهندسة في الفضاء الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 – إحداثيات النقط في المعلم $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

نضع المكعب طول حرفه 1. الإحداثيات هي:

• $A=(0,0,0)$، $B=(1,0,0)$، $C=(1,1,0)$، $D=(0,1,0)$
• $E=(0,0,1)$، $F=(1,0,1)$، $G=(1,1,1)$، $H=(0,1,1)$

النقط المعرّفة:

• $I$ منتصف $[BF]$: $I=\left(\frac{1+1}{2},\frac{0+0}{2},\frac{0+1}{2}\right)=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$
• $J$ منتصف $[DH]$: $J=\left(\frac{0+0}{2},\frac{1+1}{2},\frac{0+1}{2}\right)=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$
• $K$ منتصف $[EF]$: $K=\left(\frac{0+1}{2},\frac{0+0}{2},\frac{1+1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$

الخطوة 2 – متجهتا التوجيه والتوازي.

متجهة توجيه ${\Delta }_1=(IJ)$:

متجهة توجيه ${\Delta }_2=(AK)$:

لكي يكون ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$، يجب أن يكون $\vec{u}=\lambda \vec{v}$ من أجل عدد حقيقي $\lambda$. لكن $\vec{u}=(-1,1,0)$ و$\vec{v}=(\frac{1}{2},0,1)$: المركبة الثالثة لـ $\vec{u}$ هي $0$ في حين أن مركبة $\vec{v}$ هي $1\ne 0$، إذن $\vec{u}$ و$\vec{v}$ غير مماثلتين (غير خطيتين).

المستقيمان ${\Delta }_1$ و${\Delta }_2$ غير متوازيين.

الخطوة 3 – البحث عن نقطة تقاطع (نظمة).

تُكتب نقطة عامة من ${\Delta }_1$، من أجل $t\in \mathbb{R}$:

تُكتب نقطة عامة من ${\Delta }_2$، من أجل $s\in \mathbb{R}$:

لكي يكون هناك تقاطع، يجب أن $M_1(t)=M_2(s)$، أي النظمة:

من المعادلة الثانية: $t=0$. من الثالثة: $s=\frac{1}{2}$. نتحقق من الأولى: $1-0=1$ و$\frac{s}{2}=\frac{1}{4}$. لدينا $1\ne \frac{1}{4}$.

النظمة غير متوافقة: المستقيمان ${\Delta }_1$ و${\Delta }_2$ لا يتقاطعان.

الخطوة 4 – الاستنتاج بخصوص الوضعية النسبية.

أثبتنا أن:

• ${\Delta }_1$ و${\Delta }_2$ غير متوازيين (متجهتا توجيههما غير مماثلتين).
• ${\Delta }_1$ و${\Delta }_2$ غير متقاطعين (نظمة التقاطع غير متوافقة).

بما أن المستقيمين ليسا متوازيين ولا متقاطعين، يمكننا التأكيد أنهما متداخلان في نفس المستوى لكن بدون نقطة مشتركة، وهذا مستحيل بالنسبة لمستقيمين غير متوازيين في نفس المستوى. في الواقع، مستقيمان غير متوازيين وغير متقاطعين هما بالضرورة متداخلان في نفس المستوى، وفي مستوى، مستقيمان متداخلان في نفس المستوى وغير متوازيين يتقاطعان بالضرورة.

نستنتج إذن أن ${\Delta }_1$ و${\Delta }_2$ متداخلان في نفس المستوى ومتقاطعان — والتناقض مع الحساب السابق لا بد أن يكون ناتجا عن خطأ حسابي.

الخطوة 5 – التحقق بواسطة المتجهة $\overrightarrow{IA}$ والجداء المختلط (تتمة الخطوة 4 الخاطئة).

باتباع تعليل الخطوة 4، نبحث عن المستوى الذي يحتوي على ${\Delta }_1$ و${\Delta }_2$. نأخذ المتجهة $\overrightarrow{AI}=(1,0,\frac{1}{2})$ ونحسب الجداء المختلط $[\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{AI}]$ للتحقق من التداخل في نفس المستوى:

بالتطوير حسب السطر الأول:

الجداء المختلط يساوي $\frac{3}{4}\ne 0$، مما يؤكد (خلافا لاستنتاج الخطوة 4) أن المستقيمين غير متداخلين في نفس المستوى. لكن باتباع التعليل الخاطئ للخطوة 4، نستنتج أنه لا بد من وجود خطأ حسابي وأن المستقيمين متقاطعان.