الهندسة التحليلية الجذع المشترك

المرحلة 1 — المتجهة المنظمية ومتجهة التوجيه للمستقيم $\Delta$

المستقيم $\Delta$ معادلته $3x-4y+12=0$، على الشكل $ax+by+c=0$ حيث $a=3$، $b=-4$، $c=12$.

المتجهة المنظمية على $\Delta$ هي $\vec{n}=(a,b)=(3,-4)$.

متجهة التوجيه لـ $\Delta$ هي $\vec{u}=(-b,a)=(4,3)$.

نتحقق فعلاً أن $\vec{n}\cdot \vec{u}=3\times 4+(-4)\times 3=12-12=0$ ✓

المرحلة 2 — انتماء $A$ و $B$ إلى $\Delta$

بالنسبة لـ $A(0,3)$ : $3(0)-4(3)+12=0-12+12=0$ ✓ إذن $A\in \Delta$.

بالنسبة لـ $B(4,6)$ : $3(4)-4(6)+12=12-24+12=0$.

نحصل على $0$، إذن $B\in \Delta$ أيضاً.

المرحلة 3 — معادلة المستقيم $D$ الموازي لـ $\Delta$ والمار من $P(1,-2)$

مستقيمان متوازيان إذا وفقط إذا كانت لهما نفس متجهة التوجيه.

متجهة توجيه $\Delta$ هي $\vec{u}=(4,3)$ (محسوبة في المرحلة 1).

خطأ : نخلط بين متجهة التوجيه والمتجهة المنظمية. نحدّد خطأً متجهة توجيه $\Delta$ بأنها ${\vec{u}}_{\text{faux}}=(3,-4)$ (وهي في الحقيقة المتجهة المنظمية)، ونستعملها لبناء $D$.

مستقيم متجهة توجيهه $(3,-4)$ ومارّ من $P(1,-2)$ يُكتب بصيغة وسيطية :

$$\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2-4t\end{array},t\in \mathbb{R}$$

نحذف $t$ : من المعادلة الأولى $t=\frac{x-1}{3}$، إذن :

$$y=-2-4\cdot \frac{x-1}{3}=-2-\frac{4x-4}{3}=\frac{-6-4x+4}{3}=\frac{-4x-2}{3}$$

ومنه $3y=-4x-2$، أي :

$$D:4x+3y+2=0$$

المرحلة 4 — معادلة المستقيم $D^{\prime }$ العمودي على $\Delta$ والمار من $P(1,-2)$

مستقيمان متعامدان إذا وفقط إذا كانت متجهتا توجيههما متعامدتين، أي إذا كانت متجهة توجيه أحدهما مماثلة (خطية) للمتجهة المنظمية للآخر.

انسجاماً مع المرحلة 3، أخذنا ${\vec{u}}_{\text{faux}}=(3,-4)$ كمتجهة توجيه لـ $\Delta$. إذن يجب أن تكون متجهة توجيه $D^{\prime }$ متعامدة مع $(3,-4)$، أي متناسبة مع $(4,3)$.

المستقيم $D^{\prime }$ يمر من $P(1,-2)$ بمتجهة توجيه $(4,3)$ :

$$\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-2+3t\end{array}$$

نحذف $t$ : $t=\frac{x-1}{4}$، إذن $y=-2+3\cdot \frac{x-1}{4}=\frac{-8+3x-3}{4}=\frac{3x-11}{4}$.

ومنه $4y=3x-11$، أي :

$$D^{\prime }:3x-4y-11=0$$

المرحلة 5 — الزاوية التي يكوّنها $D^{\prime }$ مع محور الأفاصيل

متجهة توجيه $D^{\prime }$ هي $(4,3)$ (المستعملة في المرحلة 4).

الزاوية $\theta$ التي يكوّنها $D^{\prime }$ مع محور الأفاصيل تحقق :

$$\tan \theta =\frac{3}{4}$$

إذن :

$$\theta =\arctan \left(\frac{3}{4}\right)\approx 36,87°$$

ملاحظة : يمكن أيضاً قراءة ميل $D^{\prime }$ انطلاقاً من معادلته $3x-4y-11=0$، أي $y=\frac{3}{4}x-\frac{11}{4}$، وهو ما يؤكد $\tan \theta =\frac{3}{4}$.