الهندسة التحليلية الجذع المشترك

المرحلة 1 – التحقق وموضع $A$ بالنسبة إلى $\Delta$.

نعوّض إحداثيتي $A(1,3)$ في الطرف الأيسر لمعادلة $\Delta$ :

$$3(1)-4(3)+5=3-12+5=-4\ne 0$$

إذن $A\notin \Delta$.

بما أن $3(1)-4(3)+5=-4<0$، فإن النقطة $A$ توجد في الجهة السالبة من المستقيم $\Delta$ (أي في نصف المستوى المُعرَّف بـ $3x-4y+5<0$).

المرحلة 2 – تذكير بالصيغة وحساب $d(A,\Delta )$.

بالنسبة لنقطة $M(x_0,y_0)$ ومستقيم $D:ax+by+c=0$، المسافة هي :

$$d(M,D)=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

هنا $a=3$، $b=-4$، $c=5$، إذن $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

بالنسبة لـ $A(1,3)$ :

$$d(A,\Delta )=\frac{3(1)-4(3)+5}{5}=\frac{3-12+5}{5}=\frac{-4}{5}$$

نحصل على $d(A,\Delta )=-\frac{4}{5}$.

المرحلة 3 – حساب $d(B,\Delta )$ و $d(C,\Delta )$.

بالنسبة لـ $B(-2,1)$ :

$$d(B,\Delta )=\frac{3(-2)-4(1)+5}{5}=\frac{-6-4+5}{5}=\frac{-5}{5}=-1$$

بالنسبة لـ $C(6,-1)$ :

$$d(C,\Delta )=\frac{3(6)-4(-1)+5}{5}=\frac{18+4+5}{5}=\frac{27}{5}$$

نحصل على $d(B,\Delta )=-1$ و $d(C,\Delta )=\frac{27}{5}$.

المرحلة 4 – مقارنة المسافات.

لدينا :

• $d(A,\Delta )=-\frac{4}{5}=-0,8$
• $d(B,\Delta )=-1$
• $d(C,\Delta )=\frac{27}{5}=5,4$

بمقارنة القيم المحصَّل عليها، $-1<-0,8<5,4$، إذن النقطة $B$ هي التي تعطي القيمة الجبرية الأصغر. نستنتج أن $B$ هي النقطة الأقرب إلى $\Delta$.

المرحلة 5 – تعيين النقطة $M$ من محور الأفاصيل بحيث $d(M,\Delta )=2$.

نقطة $M$ من محور الأفاصيل تُكتب $M(t,0)$ حيث $t\in \mathbb{R}$.

نطبّق نفس الصيغة (دون القيمة المطلقة) :

$$d(M,\Delta )=\frac{3t-4(0)+5}{5}=\frac{3t+5}{5}$$

نحل $\frac{3t+5}{5}=2$، أي $3t+5=10$، إذن $t=\frac{5}{3}$.

لا نأخذ بعين الاعتبار الحالة $\frac{3t+5}{5}=-2$ لأننا لا نستعمل القيمة المطلقة.

إذن النقطة الوحيدة الموجودة هي $M\left(\frac{5}{3},0\right)$.