الهندسة التحليلية الجذع المشترك

المرحلة 1 — معامل التوجيه ومعادلة $(AB)$

نحسب معامل توجيه $(AB)$ :

$$m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-2}{5-(-3)}=\frac{0}{8}$$

بما أن $x_A\ne x_B$، فإن هذا الكسر معرَّف فعلاً. ولدينا $y_A=y_B=2$، إذن البسط منعدم.

نستنتج أن المستقيم $(AB)$ ليس له معامل توجيه : فهو إذن عمودي (شاقولي)، معادلته $x=-3$.

المرحلة 2 — معامل التوجيه ومعادلة $(AC)$

نحسب معامل توجيه $(AC)$ :

$$m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{-4-2}{1-(-3)}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$$

معادلة $(AC)$ على الشكل $y=-\frac{3}{2}x+b$. بتعويض إحداثيتي $A(-3,2)$ :

$$2=-\frac{3}{2}\times (-3)+b=\frac{9}{2}+b⟹b=2-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

إذن معادلة $(AC)$ هي : $$y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$$

المرحلة 3 — إحداثيتا النقطة $D$ بحيث يكون $ABDC$ متوازي أضلاع

$ABDC$ متوازي أضلاع إذا وفقط إذا كان القطران $AD$ و $BC$ يتقاطعان في منتصف مشترك.

نحسب منتصف $M$ للقطعة $[BC]$ :

$$M=\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)=\left(\frac{5+1}{2},\frac{2+(-4)}{2}\right)=(3,-1)$$

$M$ هي أيضاً منتصف $[AD]$، إذن إذا كان $D=(x_D,y_D)$ :

$$\frac{x_A+x_D}{2}=3⟹x_D=6-x_A=6-(-3)=9$$

$$\frac{y_A+y_D}{2}=-1⟹y_D=-2-y_A=-2-2=-4$$

إذن $D=(9,-4)$.

المرحلة 4 — التحقق : هل تنتمي $D$ إلى $y=-4$ ؟

وجدنا $D=(9,-4)$. الترتيب (الإحداثي الثاني) لـ $D$ هو $y_D=-4$، وهو يحقق فعلاً المعادلة $y=-4$.

من جهة أخرى، نلاحظ أن $C=(1,-4)$ لها أيضاً الترتيب $-4$، إذن $C$ و $D$ تنتميان معاً إلى المستقيم الأفقي $y=-4$. وهذا يؤكد أن $(CD)$ هو المستقيم ذو المعادلة $y=-4$.

علاوة على ذلك، بما أن $(AB)$ تم تحديدها كمستقيم عمودي معادلته $x=-3$ (المرحلة 1) وأن $(CD)$ أفقي، فإن $(AB)\perp (CD)$، وهو ما يشكّل خاصية إضافية لمتوازي الأضلاع $ABDC$.

المرحلة 5 — الحصيلة وطبيعة متوازي الأضلاع

ملخص :

• $(AB)$ : المعادلة $x=-3$ (مستقيم عمودي، حسب المرحلة 1)
• $(AC)$ : المعادلة $y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$
• $D=(9,-4)$

بما أن $(AB)$ عمودي و $(CD)$ أفقي، فهما متعامدان. وفي متوازي الأضلاع، إذا كان ضلعان متتاليان متعامدين، فإنه يكون مستطيلاً. نستنتج إذن أن $ABDC$ هو مستطيل.