عموميات حول الدوال الجذع المشترك

الخطوة 1 — حساب $f^{\prime }(x)$ وجدول التغيرات.

الدالة $f(x)=x^3-3x^2+1$ كثير حدود، إذن قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$، وبالخصوص على $[-1;3]$.

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

دراسة إشارة $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$:

• $f^{\prime }(x)>0$ إذا $x<0$ أو $x>2$،
• $f^{\prime }(x)=0$ إذا $x=0$ أو $x=2$،
• $f^{\prime }(x)<0$ إذا $0<x<2$.

جدول التغيرات على $[-1;3]$:

وبالتالي $f$ تزايدية على $[-1;0]$، تناقصية على $[0;2]$، ثم تزايدية على $[2;3]$.

الخطوة 2 — حساب القيم المميزة.

نحسب $f$ عند النقط الحرجة الداخلية وعند الحدود:

$$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+1=-1-3+1=-3,$$

$$f(0)=0-0+1=1,$$

$$f(2)=8-12+1=-3,$$

$$f(3)=27-27+1=1.$$

نتوفر إذن على القيم المرشحة الأربع: $f(-1)=-3$، $f(0)=1$، $f(2)=-3$، $f(3)=1$.

الخطوة 3 — تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى على $[-1;3]$.

حسب جدول التغيرات، تقبل $f$ حداً أقصى محلياً عند $x=0$ بقيمة $f(0)=1$، وحداً أدنى محلياً عند $x=2$ بقيمة $f(2)=-3$.

بما أن $x=0$ هي النقطة الداخلية الوحيدة التي تنتقل عندها $f$ من التزايد إلى التناقص، فهناك تبلغ $f$ أكبر قيمة لها على $[-1;3]$.

نستنتج إذن:

• الحد الأقصى لـ $f$ على $[-1;3]$: $f(0)=1$، يتحقق عند $x=0$.
• الحد الأدنى لـ $f$ على $[-1;3]$: $f(2)=-3$، يتحقق عند $x=2$.

الخطوة 4 — صورة $[-1;3]$ بالدالة $f$.

بما أن $f$ متصلة على المجال المغلق $[-1;3]$، تضمن مبرهنة القيم الوسيطية أن $f([-1;3])$ مجال مغلق.

حسب الخطوة 3، الحد الأدنى الشامل هو $-3$ (يتحقق عند $x=2$) والحد الأقصى الشامل هو $1$ (يتحقق عند $x=0$).

نستنتج:

$$f([-1;3])=[-3;1].$$