عموميات حول الدوال الجذع المشترك

الخطوة 1 – الصورة القانونية وجدول التغيرات.

نطوّر $(x-1{)}^2-4=x^2-2x+1-4=x^2-2x-3$، وهذا يطابق فعلاً $f(x)$.

الدالة $f(x)=(x-1{)}^2-4$ قطع مكافئ رأسه $(1,-4)$، تناقصية على $[-2;1]$ وتزايدية على $[1;3]$.

حساب القيم عند الحدود:

• $f(-2)=(-2-1{)}^2-4=9-4=5$
• $f(1)=0-4=-4$
• $f(3)=(3-1{)}^2-4=4-4=0$

جدول التغيرات:

$$\begin{array}{cccccc}x& -2& & 1& & 3\\ f(x)& 5& \searrow & -4& \nearrow & 0\end{array}$$

الخطوة 2 – صورة $f$ على $[-2;3]$.

حسب جدول التغيرات، تبلغ $f$ حدها الأدنى $-4$ عند $x=1$ وحدها الأقصى $5$ عند $x=-2$.

بما أن $f$ متصلة على $[-2;3]$، تضمن مبرهنة القيم الوسيطية أن $f$ تأخذ جميع القيم بين $-4$ و $5$.

إذن $f([-2;3])=[-4;5]$.

الخطوة 3 – تقابلية $f_{|I}$ وعبارة $f_{|I}^{-1}$.

على $I=[1;3]$، يُظهر جدول التغيرات أن $f$ تزايدية قطعاً (القطع المكافئ يقع على يمين رأسه). $f$ إذن تقابلية من $I=[1;3]$ نحو $J=f(I)=[f(1);f(3)]=[-4;0]$.

لتحديد $f_{|I}^{-1}$، نحل $y=x^2-2x-3$ بدلالة $x$ مع $x\ge 1$:

$$y=(x-1{)}^2-4⟹(x-1{)}^2=y+4⟹x-1=\sqrt{y+4}$$

(نأخذ الجذر الموجب لأن $x\ge 1$، إذن $x-1\ge 0$).

وبالتالي: $$f_{|I}^{-1}(x)=1+\sqrt{x+4},x\in [-4;0]$$

الخطوة 4 – القراءة البيانية لـ $f_{|I}^{-1}$ وحساب $f_{|I}^{-1}(-3)$ و $f_{|I}^{-1}(5)$.

منحنى $f_{|I}^{-1}$ هو نظير ${\mathcal{C}}_{f_{|I}}$ بالنسبة للمستقيم $d:y=x$. لقراءة $f_{|I}^{-1}(a)$، نبحث عن أرتوب نقطة ${\mathcal{C}}_{f_{|I}^{-1}}$ ذات الفاصلة $a$، وهذا يعادل البحث عن فاصلة نقطة ${\mathcal{C}}_{f_{|I}}$ ذات الأرتوب $a$.

حساب $f_{|I}^{-1}(-3)$: $-3\in [-4;0]=J$، إذن هذا الحساب جائز.

$$f_{|I}^{-1}(-3)=1+\sqrt{-3+4}=1+\sqrt{1}=2$$

حساب $f_{|I}^{-1}(5)$: نلاحظ أن $5\in [-4;5]$ (صورة $f$ على $[-2;3]$) وأن النقطة $(-2,5)$ تنتمي إلى ${\mathcal{C}}_f$. بالتماثل بالنسبة لـ $y=x$، تنتمي النقطة $(5,-2)$ إلى المنحنى المتماثل، إذن نقرأ:

$$f_{|I}^{-1}(5)=-2$$

تحقق جبري من $f_{|I}^{-1}(-3)=2$: $f(2)=4-4-3=-3$ ✓ و $2\in [1;3]$ ✓.

الخطوة 5 – الخلاصة.

نحتفظ بـ:

• $f_{|I}^{-1}(-3)=2$ (قيمة صحيحة، تم التحقق منها جبرياً).
• $f_{|I}^{-1}(5)=-2$ (قيمة قُرئت بيانياً على نظير ${\mathcal{C}}_{f_{|I}}$ بالنسبة لـ $y=x$).

مجموعة تعريف $f_{|I}^{-1}$ هي $J=[-4;0]$، وعبارتها هي $f_{|I}^{-1}(x)=1+\sqrt{x+4}$.