عموميات حول الدوال الجذع المشترك

الخطوة 1 – إعادة كتابة $f(x)$.

لكل $x\in [1,+\infty [$، لدينا $x\ne 0$، إذن يمكننا وضع نفس المقام:

الكتابة محقّقة فعلاً. $\square$

الخطوة 2 – دراسة الرتابة (الخطوة التي تحتوي على الخطأ).

ليكن $x_1,x_2\in [1,+\infty [$ بحيث $x_1<x_2$. نكوّن الفرق:

بعد الاختزال إلى نفس المقام $x_1{x}_2>0$:

لنطوّر البسط:

إذن:

للاستنتاج بخصوص الإشارة، ندرس إشارة $f(x_2)-f(x_1)$، أي إشارة $f(x)$ على المجال. بما أن $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$ وأن $x\ge 1>0$، فإن $x^2+4>0$، إذن $f(x)>0$ على $[1,+\infty [$. وبالتالي $f(x_2)-f(x_1)>0$، مما يثبت أن $f$ تزايدية على $[1,+\infty [$.

الخطوة 3 – جدول التغيرات.

بقبول استنتاج الخطوة 2 ($f$ تزايدية على $[1,+\infty [$)، نحسب القيم عند الحدود:

• $f(1)=1+\frac{4}{1}=5$.
• عندما $x\to +\infty$: $f(x)=x+\frac{4}{x}\to +\infty$.

جدول التغيرات:

الخطوة 4 – المعادلة $f(x)=3$ لا تقبل حلاً في $[1,+\infty [$.

حسب جدول التغيرات (المبني على استنتاج الخطوة 2)، $f$ تزايدية على $[1,+\infty [$ و $f(1)=5$. إذن لكل $x\in [1,+\infty [$، لدينا $f(x)\ge 5>3$. المعادلة $f(x)=3$ لا تقبل إذن أي حل في $[1,+\infty [$. $\square$

(ملاحظة: هذا الاستنتاج صحيح، لكنه مبني على جدول تغيرات خاطئ — انظر الخطوة 2.)

الخطوة 5 – حل $f(x)\le 5$ في $[1,+\infty [$.

نحل $x+\frac{4}{x}\le 5$، أي $\frac{x^2-5x+4}{x}\le 0$، بمعنى $\frac{(x-1)(x-4)}{x}\le 0$.

على $[1,+\infty [$، لدينا $x>0$، إذن إشارة $\frac{(x-1)(x-4)}{x}$ هي إشارة $(x-1)(x-4)$.

• $(x-1)(x-4)\le 0⟺x\in [1,4]$.

بمراعاة المجال $[1,+\infty [$، الحل هو $x\in [1,4]$.

حسب جدول التغيرات (بافتراض التزايد)، $f(x)\le 5=f(1)$ تستلزم $x\le 1$، أي $x=1$ فقط. لكن الحساب الجبري المباشر يعطي $[1,4]$، مما يناقض التزايد المُثبت في الخطوة 2 — دليل على أن استنتاج الخطوة 2 خاطئ.