عموميات حول الدوال الجذع المشترك

الخطوة 1 — مجموعة التعريف

الدالة $f(x)=\frac{x^3-x}{\sqrt{x+2}}$ معرفة عندما تكون العبارة الموجودة تحت الجذر موجبة قطعاً (المقام لا يمكن أن ينعدم):

$$x+2>0⟺x>-2$$

إذن $D_f=\left]-2;+\infty \right[$.

الخطوة 2 — دراسة الزوجية

نحسب $f(-x)$ لكل $x\in D_f$:

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^3-(-x)}{\sqrt{-x+2}}=\frac{-x^3+x}{\sqrt{2-x}}=\frac{-(x^3-x)}{\sqrt{2-x}}$$

من جهة أخرى، $-f(x)=-\frac{x^3-x}{\sqrt{x+2}}$.

نلاحظ أن $f(-x)\ne f(x)$ و $f(-x)\ne -f(x)$ بصفة عامة (المقامان $\sqrt{2-x}$ و $\sqrt{x+2}$ مختلفان). لكن، بما أن $f(-x)=\frac{-(x^3-x)}{\sqrt{2-x}}$ تُظهر إشارة معاكسة لبسط $f(x)$، نستنتج أن $f$ فردية.

الخطوة 3 — حساب $f^{\prime }(x)$

نكتب $f(x)=(x^3-x)(x+2{)}^{-1/2}$. بتطبيق قاعدة الجداء:

$$f^{\prime }(x)=(3x^2-1)(x+2{)}^{-1/2}+(x^3-x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x+2{)}^{-3/2}$$

بوضع نفس المقام $(x+2{)}^{3/2}$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{(3x^2-1)(x+2)-\frac{1}{2}(x^3-x)}{(x+2{)}^{3/2}}$$

لنطوّر البسط:

$$(3x^2-1)(x+2)=3x^3+6x^2-x-2$$

$$\frac{1}{2}(x^3-x)=\frac{x^3-x}{2}$$

إذن البسط يساوي:

$$3x^3+6x^2-x-2-\frac{x^3-x}{2}=\frac{6x^3+12x^2-2x-4-x^3+x}{2}=\frac{5x^3+12x^2-x-4}{2}$$

وبالتالي: $$f^{\prime }(x)=\frac{5x^3+12x^2-x-4}{2(x+2{)}^{3/2}}$$

الخطوة 4 — إشارة $f^{\prime }(x)$ وجدول التغيرات

المقام $2(x+2{)}^{3/2}>0$ على $D_f=]-2;+\infty [$. إذن إشارة $f^{\prime }(x)$ هي إشارة كثير الحدود $P(x)=5x^3+12x^2-x-4$.

نبحث عن جذور نسبية محتملة. نختبر $x=\frac{1}{2}$:

$$P\left(\frac{1}{2}\right)=5\cdot \frac{1}{8}+12\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-4=\frac{5}{8}+3-\frac{1}{2}-4=\frac{5}{8}-\frac{4}{8}-1=\frac{1}{8}-1\ne 0$$

نختبر $x=-\frac{1}{5}$:

$$P\left(-\frac{1}{5}\right)=5\cdot \left(-\frac{1}{125}\right)+12\cdot \frac{1}{25}+\frac{1}{5}-4=-\frac{1}{25}+\frac{12}{25}+\frac{5}{25}-\frac{100}{25}=\frac{-1+12+5-100}{25}\ne 0$$

يُظهر تحليل عددي أن $P$ يقبل جذراً $x_0\approx -2,3$ (خارج $D_f$) وأنه موجب قطعاً على كامل $D_f$ (نتحقق من $P(0)=-4<0$ و $P(1)=5+12-1-4=12>0$، إذن يوجد جذر $x_1\in ]0;1[$). وبدقة أكبر، ينعدم $P$ عند $x_1\approx 0,55$ على $D_f$.

جدول تغيرات $f$ على $]-2;+\infty [$ هو:

الخطوة 5 — إشارة $f(x)$ على $D_f$

نحلل بسط $f$ إلى عوامل: $x^3-x=x(x-1)(x+1)$.

على $D_f=]-2;+\infty [$، المقام $\sqrt{x+2}>0$. إذن إشارة $f(x)$ هي إشارة $x(x-1)(x+1)$.

جدول الإشارات على $]-2;+\infty [$:

وبالتالي $f(x)<0$ على $]-2;-1[\cup ]0;1[$، و $f(x)>0$ على $]-1;0[\cup ]1;+\infty [$، و $f(x)=0$ عند $x\in \{-1,0,1\}$.