عموميات حول الدوال الجذع المشترك

الخطوة 1 — مجموعة تعريف $f$

الدالة $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$ معرفة لكل $x$ بحيث يكون المقام $x^2-3x+2\ne 0$.

نحلل إلى عوامل: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

ينعدم المقام عند $x=1$ و $x=2$.

إذن: $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$$

الخطوة 2 — مجموعة تعريف $g$

الدالة $g(x)=\frac{1}{x+1}$ معرفة لكل $x$ بحيث $x+1\ne 0$، أي $x\ne -1$.

إذن: $$D_g=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$$

الخطوة 3 — مجموعة تعريف $f+g$ (الخطوة التي تحتوي على الخطأ)

مجموعة تعريف $f+g$ هي:

$$D_{f+g}=D_f\cap D_g=\left(\mathbb{R}\setminus \{1,2\}\right)\cap \left(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\right)=\mathbb{R}\setminus \{-1,1,2\}$$

نحسب الآن $(f+g)(x)$:

$$(f+g)(x)=\frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{x+1}$$

نلاحظ أن $x^2-1=(x-1)(x+1)$، إذن:

$$\frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}(\text{من أجل }x\ne 1)$$

وبالتالي:

$$(f+g)(x)=\frac{x+1}{x-2}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+(x-2)}{(x-2)(x+1)}$$

$$=\frac{x^2+2x+1+x-2}{(x-2)(x+1)}=\frac{x^2+3x-1}{(x-2)(x+1)}$$

نستنتج أن $D_{f+g}=\mathbb{R}\setminus \{-1,1,2\}$ وأنه على هذه المجموعة:

$$(f+g)(x)=\frac{x^2+3x-1}{(x-2)(x+1)}$$

الخطوة 4 — زوجية $f+g$

لدينا $(f+g)(x)=\frac{x^2+3x-1}{(x-2)(x+1)}$ على $D_{f+g}=\mathbb{R}\setminus \{-1,1,2\}$.

تماثل مجموعة التعريف: نتحقق مما إذا كانت $D_{f+g}$ متماثلة بالنسبة إلى $0$. القيم المستثناة هي $-1,1,2$. لكن $-2\notin \{-1,1,2\}$ في حين أن $2$ مستثناة دون أن تُستثنى $-2$، إذن $D_{f+g}$ ليست متماثلة بالنسبة إلى $0$ (استثناء $2$ غير مقابل باستثناء $-2$).

وبالتالي، فإن الدالة $f+g$ ليست زوجية ولا فردية (الشرط اللازم غير محقق: مجموعة التعريف غير متماثلة بالنسبة إلى نقطة الأصل).