الدوال الخطية والتآلفية الثالثة إعدادي

الخطوة 1 – تذكير بالتعريفات

الدالة الخطية هي دالة من الشكل $x\mapsto ax$ حيث $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. تمثيلها البياني مستقيم يمر من الأصل $O$.

الدالة التآلفية هي دالة من الشكل $x\mapsto ax+b$ حيث $a,b\in \mathbb{R}$، $a\ne 0$. عندما يكون $b\ne 0$، فإن المستقيم لا يمر من الأصل.

ملاحظة: كل دالة خطية هي حالة خاصة من دالة تآلفية (بحيث $b=0$)، لكن العكس غير صحيح.

الخطوة 2 – تصنيف $f$ و $g$ و $h$ (الخطوة التي تحتوي على الخطأ)

نتفحص الحد الثابت في كل عبارة:

• $f(x)=3x-6$: لدينا $a=3$ و $b=-6$. بما أن $f$ من الشكل $ax+b$، فهي دالة خطية.
• $g(x)=-2x$: لدينا $a=-2$ و $b=0$. بما أن $b=0$، فهي دالة خطية.
• $h(x)=\frac{1}{2}x+4$: لدينا $a=\frac{1}{2}$ و $b=4$. بما أن $b\ne 0$، فهي دالة تآلفية (غير خطية).

الخطوة 3 – التحقق من الخاصية $f(x+y)=f(x)+f(y)$

حسب الخطوة 2، الدوال المصرَّح بأنها خطية هي $f$ و $g$. نتحقق من الخاصية لكل منهما.

من أجل $f(x)=3x-6$:

$$f(x+y)=3(x+y)-6=3x+3y-6$$

$$f(x)+f(y)=(3x-6)+(3y-6)=3x+3y-12$$

نلاحظ أن $f(x+y)=3x+3y-6\ne 3x+3y-12=f(x)+f(y)$ بشكل عام. ومع ذلك، نعزو هذا الفارق إلى «حالة خاصة» ونواصل.

من أجل $g(x)=-2x$:

$$g(x+y)=-2(x+y)=-2x-2y$$

$$g(x)+g(y)=(-2x)+(-2y)=-2x-2y$$

لدينا فعلاً $g(x+y)=g(x)+g(y)$ لكل $x,y\in \mathbb{R}$. ✓

الخطوة 4 – المعامل الموجِّه والترتيب عند الأصل والمرور من الأصل

نقرأ مباشرة المعلمتين $a$ و $b$:

المستقيم الممثِّل لـ $g$ وحده يمر من أصل المعلم.

الخطوة 5 – حل المعادلة $f(x)=h(x)$

نحل:

$$3x-6=\frac{1}{2}x+4$$

نطرح $\frac{1}{2}x$ من الطرفين:

$$3x-\frac{1}{2}x-6=4$$

$$\frac{5}{2}x-6=4$$

نضيف $6$ إلى الطرفين:

$$\frac{5}{2}x=10$$

نضرب في $\frac{2}{5}$:

$$x=10\times \frac{2}{5}=4$$

الحل هو $x=4$.

التحقق: $f(4)=3\times 4-6=6$ و $h(4)=\frac{1}{2}\times 4+4=6$. ✓

التفسير البياني: المستقيمان الممثلان لـ $f$ و $h$ يتقاطعان في النقطة ذات الإحداثيتين $(4;6)$.