الدوال الأسية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 – حساب $f^{\prime }(x)$ والتغيرات.

نشتق حدًا حدًا:

نضع $u=e^x>0$. لدينا $e^{2x+1}=e\cdot e^{2x}=e{u}^2$، إذن $$f^{\prime }(x)=2e{u}^2-3u+1.$$

مميز هذا الثلاثي الحدود في $u$ هو $\Delta =9-8e$. بما أن $e\approx 2,718$، فإن $8e\approx 21,7>9$، إذن $\Delta <0$. الثلاثي $2e{u}^2-3u+1$ ذو إشارة ثابتة، من نفس إشارة معامله المهيمن $2e>0$.

وبالتالي $f^{\prime }(x)>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$: $f$ متزايدة تمامًا على $\mathbb{R}$.

المرحلة 2 – وجود ووحدانية $\alpha$، التأطير.

$f$ متصلة ومتزايدة تمامًا على $\mathbb{R}$، إذن تقبل المعادلة $f(x)=0$ على الأكثر حلًا واحدًا.

حساب عند طرفي المجال $]-1;0[$:

• $f(-1)=e^{-2+1}-3e^{-1}+(-1)=e^{-1}-3e^{-1}-1=-2e^{-1}-1\approx -0,736-1=-1,736<0.$
• $f(0)=e^1-3e^0+0=e-3\approx 2,718-3=-0,282<0.$

حسنًا، القيمتان سالبتان. لنتحقق عند $x=1$:

• $f(1)=e^3-3e+1\approx 20,09-8,15+1=12,94>0.$

حسب مبرهنة القيم الوسيطة المطبقة على $[0;1]$، يوجد $\alpha \in ]0;1[$ حيث $f(\alpha )=0$. التزايد التام يضمن الوحدانية. $\alpha \in ]0;1[$.

المرحلة 3 – حساب $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

نبحث عن دالة أصلية لـ $f(t)=e^{2t+1}-3e^t+t$.

• الدالة الأصلية لـ $e^{2t+1}$: نطبق القاعدة «الدالة الأصلية لـ $e^u$ هي $e^u$»، مما يعطي مباشرة $e^{2t+1}$.
• الدالة الأصلية لـ $-3e^t$: $-3e^t$.
• الدالة الأصلية لـ $t$: $\frac{t^2}{2}$.

إذن الدالة الأصلية لـ $f$ هي $$G(t)=e^{2t+1}-3e^t+\frac{t^2}{2}.$$

نستنتج $$F(x)=[e^{2t+1}-3e^t+\frac{t^2}{2}{]}_0^x=\left(e^{2x+1}-3e^x+\frac{x^2}{2}\right)-\left(e^1-3e^0+0\right).$$

المرحلة 4 – حساب $F(1)$.

نستعمل العبارة المحصل عليها في المرحلة السابقة:

عدديًا: $e^3\approx 20,086$، $4e\approx 10,873$، إذن $$F(1)\approx 20,086-10,873+3,5=12,713.$$

المرحلة 5 – مساحة المنطقة المحصورة.

حسب المرحلة 2، $f(x)<0$ على $]0;\alpha [$ و $f(x)>0$ على $]\alpha ;1[$، مع $\alpha \in ]0;1[$.

المساحة المطلوبة هي $$\mathcal{A}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=-\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}f(x)dx+\underset{\alpha }{\overset{1}{\int }}f(x)dx.$$

ولدينا $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=F(1)=e^3-4e+\frac{7}{2}$ و $\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}f(x)dx=F(\alpha )=0$ (بما أن $f(\alpha )=0$… تنبيه: $F(\alpha )=\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}f(t)dt\ne f(\alpha )$).

لدينا $F(\alpha )=e^{2\alpha +1}-3e^{\alpha }+\frac{{\alpha }^2}{2}-e+3$. بما أن $f(\alpha )=0$ يعني $e^{2\alpha +1}-3e^{\alpha }+\alpha =0$، لا يمكن تبسيط $F(\alpha )$ أكثر دون القيمة العددية لـ $\alpha$.

تُعبَّر المساحة إذن بـ $$\mathcal{A}=-F(\alpha )+F(1)-F(\alpha )+F(\alpha )=F(1)-2F(\alpha ).$$

في غياب القيمة الدقيقة لـ $\alpha$، نستنتج أن $$\mathcal{A}=F(1)-2F(\alpha )=\left(e^3-4e+\frac{7}{2}\right)-2F(\alpha )\approx 12,71-2F(\alpha )\text{ و.م.}$$