الدوال الأسية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — المشتقة ومعادلة المماس عند $x_0=0$.

نعلم أن $f(x)=e^x$، إذن $f^{\prime }(x)=e^x$ لكل $x\in \mathbb{R}$.

عند $x_0=0$:

• $f(0)=e^0=1$
• $f^{\prime }(0)=e^0=1$

معادلة المماس $(T)$ عند $x_0=0$ هي:

إذن $(T):y=x+1$.

المرحلة 2 — دراسة $g(x)=e^x-(x+1)$: حساب $g^{\prime }(x)$ والتغيرات.

نضع $g(x)=e^x-x-1$. مشتقتها هي:

دراسة إشارة $g^{\prime }(x)$:

• $g^{\prime }(x)=0\iff e^x=1\iff x=0$
• من أجل $x<0$: $e^x<1$، إذن $g^{\prime }(x)<0$ (الدالة $g$ متناقصة).
• من أجل $x>0$: $e^x>1$، إذن $g^{\prime }(x)>0$ (الدالة $g$ متزايدة).

جدول تغيرات $g$:

إذن $g$ تقبل قيمة صغرى مطلقة عند $x=0$: $g(0)=e^0-0-1=0$.

نستنتج أن $g(x)\ge 0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، مع المساواة فقط عند $x=0$.

المرحلة 3 — وضعية $\mathcal{C}$ بالنسبة لـ $(T)$.

لقد أثبتنا أن $g(x)=e^x-(x+1)\ge 0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، مع $g(0)=0$.

بما أن $g(x)\ge 0$، فإن $e^x\ge x+1$ لكل $x\in \mathbb{R}$.

بجوار $x_0=0$، معادلة المماس $(T)$ هي $y=x+1$. وبما أن $g(x)=0$ عند $x=0$، فهذا يعني أن $f(0)=T(0)=1$. نستنتج أن المنحنى $\mathcal{C}$ يتطابق مع مماسه $(T)$ بجوار $0$، أي أن $f(x)\approx x+1$ محليًا، وبالتالي فإن $\mathcal{C}$ و $(T)$ يندمجان في جوار $0$.

المرحلة 4 — حساب $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x+1}$.

نحسب:

يتعلق الأمر بشكل غير محدد $\frac{+\infty }{+\infty }$. نستعمل حقيقة أن الدوال الأسية تنمو أسرع من كثيرات الحدود: لكل عدد صحيح $n\ge 1$، $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$.

خصوصًا، من أجل $n=1$:

التفسير الهندسي: يبتعد المنحنى $\mathcal{C}$ إلى ما لا نهاية عن المستقيم $(T)$ عندما $x\to +\infty$. وهذا يؤكد أنه — خلافًا لما استُنتج في المرحلة 3 — لا يندمج $\mathcal{C}$ و $(T)$ بشكل عام؛ فـ $(T)$ ليست سوى تقريب محلي لـ $\mathcal{C}$ عند نقطة التماس $x_0=0$.

المرحلة 5 — استنتاج عام (تلخيص).

بجمع النتائج:

• $f^{\prime }(x)=e^x$، والمماس عند $x_0=0$ هو $(T):y=x+1$.
• $g(x)=e^x-(x+1)\ge 0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، مع $g(0)=0$.
• المنحنى $\mathcal{C}$ يقع فوق $(T)$ على $\mathbb{R}$ بأكمله، ولا يلامسه إلا عند $x=0$ — وهذا يعبّر عن تحدب $f(x)=e^x$.
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x+1}=+\infty$: الفارق بين $\mathcal{C}$ و $(T)$ يؤول إلى $+\infty$.

ملاحظة: استنتاج المرحلة 3 كان خاطئًا: كون $g(0)=0$ يعني فقط أن $\mathcal{C}$ و $(T)$ يتلامسان في نقطة وحيدة (نقطة التماس)، وليس أنهما يندمجان محليًا.