الدوال الأسية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — التغيير المتغير وحل $f(x)=0$

نضع $X=e^x$. بما أن الدالة الأسية تأخذ قيمًا موجبة تمامًا، فإن $X>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$.

نعيد الكتابة:

$$f(x)=(e^x{)}^2-(k+1)e^x+k=X^2-(k+1)X+k$$

إذن المعادلة $f(x)=0$ تكافئ $X^2-(k+1)X+k=0$ مع $X>0$.

نحسب المميز: $\Delta =(k+1{)}^2-4k=k^2+2k+1-4k=k^2-2k+1=(k-1{)}^2\ge 0$.

الجذران هما:

$$X_1=\frac{(k+1)-|k-1|}{2},X_2=\frac{(k+1)+|k-1|}{2}$$

من أجل $k\ge 1$: $X_1=\frac{(k+1)-(k-1)}{2}=1$ و $X_2=\frac{(k+1)+(k-1)}{2}=k$.

لدينا إذن $X_1=1>0$ و $X_2=k$. لكي يكون $X_2>0$، يجب أن يكون $k>0$.

بالعودة إلى $x$: $e^x=1\Rightarrow x=0$ و $e^x=k\Rightarrow x=\ln k$ (صالح إذا $k>0$).

الاستنتاج: من أجل $k>1$، حلول $f(x)=0$ هي $x=0$ و $x=\ln k$.

المرحلة 2 — إشارة $f(x)$ من أجل $k=3$

من أجل $k=3$، لدينا $f(x)=e^{2x}-4e^x+3$.

حسب المرحلة 1، أصفار $f$ هي $x=0$ (المطابقة لـ $X=1$) و $x=\ln 3$ (المطابقة لـ $X=3$).

بالتغيير المتغير $X=e^x>0$، نحلل:

$$X^2-4X+3=(X-1)(X-3)$$

إذن $f(x)=(e^x-1)(e^x-3)$.

جدول الإشارات:

• من أجل $x<0$: $e^x<1$ إذن $(e^x-1)<0$ و $e^x<3$ إذن $(e^x-3)<0$: الجداء $>0$.
• من أجل $0<x<\ln 3$: $(e^x-1)>0$ و $(e^x-3)<0$: الجداء $<0$.
• من أجل $x>\ln 3$: $(e^x-1)>0$ و $(e^x-3)>0$: الجداء $>0$.

الاستنتاج: $f(x)>0$ على $]-\infty ,0[\cup ]\ln 3,+\infty [$، $f(x)=0$ عند $x=0$ و $x=\ln 3$، و $f(x)<0$ على $]0,\ln 3[$.

المرحلة 3 — حل $e^{2x}-4e^x+3\ge 0$

حسب دراسة الإشارة المنجزة في المرحلة 2، نعلم أن $f(x)=e^{2x}-4e^x+3\ge 0$ إذا وفقط إذا $x\in ]-\infty ,0]\cup [\ln 3,+\infty [$.

مجموعة الحلول: $S=]-\infty ,0]\cup [\ln 3,+\infty [$.

المرحلة 4 — حل $e^{2x+1}-4e^{x+1}+3e\ge 0$

نضع $e$ (الموجب تمامًا) كعامل مشترك:

$$e^{2x+1}-4e^{x+1}+3e=e\cdot e^{2x}-4e\cdot e^x+3e=e\left(e^{2x}-4e^x+3\right)$$

بما أن $e>0$، فإن المتراجحة $e^{2x+1}-4e^{x+1}+3e\ge 0$ تكافئ:

$$e^{2x}-4e^x+3\ge 0$$

وهي بالضبط المتراجحة المحلولة في المرحلة 3.

مجموعة الحلول: $S=]-\infty ,0]\cup [\ln 3,+\infty [$.

المرحلة 5 — تحقق بإعادة الكتابة الأسية المباشرة (طريقة بديلة)

نعيد أخذ متراجحة السؤال 3 بشكل آخر للتأكد. لدينا:

$$e^{2x}-4e^x+3\ge 0⟺(e^x-1)(e^x-3)\ge 0$$

العامل $(e^x-1)\ge 0⟺e^x\ge e^0⟺x\ge 0$.

من أجل العامل $(e^x-3)\ge 0$، نكتب $e^x\ge 3=e^{\ln 3}$.

لكن لحل $e^x\ge e^{\ln 3}$، يجب التمييز حسب إشارة $\ln 3$: بما أن $\ln 3>0$، فإن الأساس $e$ يكون "أكبر من 1"، إذن الدالة متزايدة والمتراجحة تُحفظ، مما يعطي $x\ge \ln 3$. وبالمقابل، لو كان $\ln 3$ سالبًا، لكان الأساس "أصغر من 1" ولوجب عكس الاتجاه، مما يعطي $x\le \ln 3$.

نستنتج إذن: $(e^x-3)\ge 0⟺x\ge \ln 3$.

الجداء $(e^x-1)(e^x-3)\ge 0$ عندما يكون العاملان من نفس الإشارة، وهذا يعطي فعلًا $x\le 0$ أو $x\ge \ln 3$.

المرحلة 6 — الاستنتاج العام

الطريقتان (جدول الإشارات في المرحلة 2 وإعادة الكتابة الأسية في المرحلة 5) تعطيان نفس مجموعة الحلول، مما يؤكد:

$$\boxed{S=]-\infty ,0]\cup [\ln 3,+\infty [}$$

بالنسبة لمتراجحتي السؤالين 3 و4.