الدوال الأسية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — إعداد الاشتقاق (قاعدة الجداء)

$f$ هي جداء دالتين: $u(x)=2x-1$ و $v(x)=e^{-x^2+3x}$.

نطبق القاعدة $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

• $u^{\prime }(x)=2$
• من أجل $v^{\prime }(x)$، نضع $\phi (x)=-x^2+3x$، بحيث $v(x)=e^{\phi (x)}$.

مشتقة $e^{\phi (x)}$ هي ${\phi }^{\prime }(x)\cdot e^{\phi (x)}$، إذن يجب أولًا حساب ${\phi }^{\prime }(x)$.

المرحلة 2 — حساب $v^{\prime }(x)$ [خطأ هنا]

لدينا $v(x)=e^{-x^2+3x}$. بتطبيق قاعدة اشتقاق $e^{\phi (x)}$، نحصل على:

$$v^{\prime }(x)=e^{-x^2+3x}$$

(اشتققنا $e^{\phi }$ إلى $e^{\phi }$، لكننا نسينا الضرب في ${\phi }^{\prime }(x)=-2x+3$.)

المرحلة 3 — عبارة $f^{\prime }(x)$

بتطبيق قاعدة الجداء مع النتيجة (الخاطئة) $v^{\prime }(x)=e^{-x^2+3x}$:

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$

$$f^{\prime }(x)=2e^{-x^2+3x}+(2x-1)e^{-x^2+3x}$$

نضع $e^{-x^2+3x}$ (التي لا تنعدم أبدًا) كعامل مشترك:

$$f^{\prime }(x)=(2+2x-1)e^{-x^2+3x}=(2x+1)e^{-x^2+3x}$$

إذن $P(x)=2x+1$.

المرحلة 4 — إشارة $f^{\prime }(x)$ وتغيرات $f$

بما أن $e^{-x^2+3x}>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، فإن إشارة $f^{\prime }(x)$ هي إشارة $P(x)=2x+1$.

• $2x+1>0⟺x>-\frac{1}{2}$
• $2x+1<0⟺x<-\frac{1}{2}$
• $2x+1=0⟺x=-\frac{1}{2}$

جدول التغيرات:

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & -\frac{1}{2}& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ f& \searrow & & f\left(-\frac{1}{2}\right)& \nearrow & \end{array}$$

$f$ متناقصة على $\left]-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$ ومتزايدة على $\left[-\frac{1}{2},+\infty \right[$: تقبل قيمة صغرى عند $x=-\frac{1}{2}$.

المرحلة 5 — حساب القيمة الصغرى

$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-1\right)e^{-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=(-1-1)e^{-\frac{1}{4}-\frac{3}{2}}=-2e^{-\frac{7}{4}}$$

القيمة الصغرى لـ $f$ هي $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-2e^{-7/4}$، المحصل عليها عند $x=-\frac{1}{2}$.

المرحلة 6 — المعادلة $f(x)=0$

$f(x)=(2x-1)e^{-x^2+3x}=0$. بما أن $e^{-x^2+3x}\ne 0$، نحل $2x-1=0$، أي $x=\frac{1}{2}$.

حسب جدول التغيرات: $f$ متناقصة ثم متزايدة بقيمة صغرى $-2e^{-7/4}<0$. نتحقق أن $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ وأن $f$ لا تنعدم إلا في هذه النقطة (القيمة الصغرى سالبة، $f$ تؤول إلى $+\infty$ عند $\pm \infty$، إذن $f$ تقطع محور الفواصل مرة واحدة بالضبط، عند $x=\frac{1}{2}$).

تقبل المعادلة $f(x)=0$ حلًا وحيدًا: $x=\frac{1}{2}$.