الدوال الأسية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 – النهاية عند $-\infty$

عندما $x\to -\infty$، نضع $u=-x$ ومنه $u\to +\infty$.

لدينا $e^{-x}=e^u\to +\infty$، و $x^2-x+1\to +\infty$، إذن $(x^2-x+1)e^{-x}\to +\infty$.

من جهة أخرى $x-1\to -\infty$، لكن الحد الأسي يهيمن:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

التفسير الهندسي: يقبل منحنى $f$ فرعًا شلجميًا عند $-\infty$ (يؤول إلى $+\infty$).

المرحلة 2 – النهاية عند $+\infty$ (الجزء الأول)

نكتب:

$$f(x)=(x^2-x+1)e^{-x}+x-1$$

لدراسة النهاية عند $+\infty$، ندرس أولًا $(x^2-x+1)e^{-x}$.

نطوّر:

$$(x^2-x+1)e^{-x}=x^2{e}^{-x}-x{e}^{-x}+e^{-x}$$

حسب المقارنات النمائية، نعلم أنه لكل عدد صحيح $n\ge 0$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0$$

إذن $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=0$، و $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=0$.

المرحلة 3 – نهاية $x{e}^{-x}$ عند $+\infty$ (المرحلة الخاطئة)

يبقى معالجة $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}$.

عندما $x\to +\infty$، لدينا $x\to +\infty$ و $e^{-x}\to 0$، وهذا يعطي الشكل غير المحدد $+\infty \times 0$.

نستدل بـ«مقارنة السرعات»: $x$ تؤول إلى $+\infty$، إذن هي تهيمن على العامل $e^{-x}$ الذي يؤول إلى $0$. نستنتج:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=+\infty$$

وبالتالي:

$$(x^2-x+1)e^{-x}=x^2{e}^{-x}-x{e}^{-x}+e^{-x}⟶0-(+\infty )+0=-\infty$$

المرحلة 4 – الاستنتاج بخصوص النهاية عند $+\infty$ والمقارب (متحيّزة بسبب الخطأ)

حسب المرحلة السابقة، $(x^2-x+1)e^{-x}\to -\infty$، إذن:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[(x^2-x+1)e^{-x}+x-1\right]=-\infty +(+\infty )$$

هذا الشكل غير محدد. لرفع الإبهام، ندرس $f(x)-(x-1)=(x^2-x+1)e^{-x}$.

بما أن $(x^2-x+1)e^{-x}\to -\infty$ (حسب المرحلة 3)، نستنتج:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(x-1)]=-\infty$$

إذن المستقيم $\Delta :y=x-1$ ليس مقاربًا مائلًا لمنحنى $f$ عند $+\infty$؛ والمنحنى يبتعد عن $\Delta$ نحو $-\infty$.

المرحلة 5 – حساب $f^{\prime }(x)$

نشتق $f(x)=(x^2-x+1)e^{-x}+x-1$ باستعمال قاعدة الجداء:

$$f^{\prime }(x)=(2x-1)e^{-x}+(x^2-x+1)(-e^{-x})+1$$

$$=e^{-x}\left[(2x-1)-(x^2-x+1)\right]+1$$

$$=e^{-x}\left[2x-1-x^2+x-1\right]+1$$

$$=e^{-x}(-x^2+3x-2)+1$$

نتحقق: $-x^2+3x-2=-(x^2-3x+2)=-(x-1)(x-2)$، إذن:

$$f^{\prime }(x)=-(x-1)(x-2)e^{-x}+1$$

ملاحظة: يطلب السؤال الشكل $(-x^2+2x)e^{-x}+1$. نتحقق بالتطوير: $2x-1-x^2+x-1=-x^2+3x-2\ne -x^2+2x$. الشكل الصحيح هو فعلاً $f^{\prime }(x)=(-x^2+3x-2)e^{-x}+1$.

المرحلة 6 – إشارة $f^{\prime }(x)$ وجدول التغيرات

لدينا $f^{\prime }(x)=-(x-1)(x-2)e^{-x}+1$. بما أن $e^{-x}>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، فإن إشارة $-(x-1)(x-2)e^{-x}$ هي إشارة $-(x-1)(x-2)$.

• من أجل $x<1$ أو $x>2$: $(x-1)(x-2)>0$، إذن $-(x-1)(x-2)e^{-x}<0$، و $f^{\prime }(x)=1+(\text{سالب})$. لا يمكن الاستنتاج مباشرة دون حساب عددي؛ غير أنه من أجل $x$ كبيرة جدًا، $e^{-x}\to 0$ إذن $f^{\prime }(x)\to 1>0$.
• من أجل $1<x<2$: $(x-1)(x-2)<0$، إذن $-(x-1)(x-2)e^{-x}>0$، و $f^{\prime }(x)>1>0$.

تحليل أدق (دراسة $g(x)=f^{\prime }(x)$) يبيّن أن $f^{\prime }(x)>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، إذن $f$ متزايدة تمامًا على $\mathbb{R}$.

جدول التغيرات (متوافق مع النهاية الخاطئة المحصل عليها في المرحلة 4):

$$\begin{array}{cccc}x& -\infty & & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& \\ f& +\infty & \nearrow & -\infty \end{array}$$