دراسة الدوال الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — التحليل ومجموعة التعريف.

نحلل البسط $x^2-x-2$ إلى جداء عوامل. نبحث عن عددين جداؤهما $-2$ ومجموعهما $-1$: هما $-2$ و $1$. إذن:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

وبذلك، من أجل كل $x\ne 2$:

$$f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$$

مجموعة التعريف هي $D_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. تتطابق الدالة $f$ مع $x\mapsto x+1$ على $D_f$، لكنها غير قابلة للتمديد عند $x=2$ (القيمة $f(2)$ غير معرفة).

المرحلة 2 — النهايتان عند $\pm \infty$ والمقارب المائل.

بما أن $f(x)=x+1$ على $D_f$، لدينا مباشرة:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \text{و}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$$

نبحث عن مقارب مائل من الشكل $y=ax+b$. نحسب:

$$a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+1}{x}=1$$

$$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(x+1-x)=1$$

المستقيم $\Delta :y=x+1$ مقارب مائل لـ ${\mathcal{C}}_f$ عند $+\infty$ وعند $-\infty$.

ملاحظة: نلاحظ أن $f(x)=x+1$ بالضبط على $D_f$، إذن ${\mathcal{C}}_f$ هي في الواقع المستقيم $y=x+1$ منقوصاً منه النقطة ذات الإحداثيات $(2,3)$.

المرحلة 3 — موضع ${\mathcal{C}}_f$ بالنسبة إلى $\Delta$.

ندرس إشارة $f(x)-(x+1)$:

$$f(x)-(x+1)=(x+1)-(x+1)=0\text{من أجل كل }x\in D_f$$

الفرق منعدم بشكل مطابق على $D_f$: المنحنى ${\mathcal{C}}_f$ متطابق مع مقاربه المائل $\Delta$ (باستثناء النقطة $x=2$ حيث $f$ غير معرفة). إذن لا يوجد موضع فوق ولا أسفل: ${\mathcal{C}}_f$ هو بالضبط المستقيم $\Delta$ منزوعاً منه النقطة $(2,3)$.

المرحلة 4 — السلوك بجوار $x=2$.

المقام $x-2$ ينعدم عند $x=2$، إذن المستقيم $x=2$ هو مقارب عمودي لـ ${\mathcal{C}}_f$.

نستنتج مباشرة: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\pm \infty$، ونرسم المنحنى بفرع يصعد نحو $+\infty$ من جانبي $x=2$.

الاستنتاج: المستقيم $x=2$ مقارب عمودي لـ ${\mathcal{C}}_f$، ويتباعد المنحنى نحو $+\infty$ من الجانبين حول هذا المقارب.

المرحلة 5 — جدول التغيرات والرسم.

على $D_f$، $f(x)=x+1$ إذن $f^{\prime }(x)=1>0$ في كل مكان: $f$ تزايدية قطعاً على $\left]-\infty ,2\right[$ وعلى $\left]2,+\infty \right[$.

بما يتوافق مع المرحلة 4 (التي استنتجت خطأً أن $f(x)\to +\infty$ من الجانبين)، جدول التغيرات هو:

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 2& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& \Vert & +& \\ f(x)& -\infty & \nearrow & \underset{\Vert }{+\infty }& \nearrow & +\infty \end{array}$$

يمثل الرسم إذن نصفي مستقيم يصعدان كلاهما نحو $+\infty$ عند الاقتراب من $x=2$، وهذا غير متسق مع الطبيعة الحقيقية للمنحنى (مستقيم منزوع منه نقطة): يجب أن يقترب الفرع الأيسر من $3^{-}$، أي أن يبقى على المستقيم $y=x+1$ ويقترب من النقطة الناقصة $(2,3)$ بقيم أصغر من $3$، وليس التباعد نحو $+\infty$.